Задачи с практическим содержанием применение дробей в повседневной жизни > Заключение Список используемой литературы (стр. 3 из 5)

2 способ: сравнение путём добавления до единицы.

Возьмём дроби

и . Первую дробь дополняем до единицы дробью , а вторую - . Но при сравнении дробей с одинаковыми числителями получаем, что меньше , значит больше .

3 способ: сравнение правильной и неправильной дробей: любая правильная дробь меньше неправильной дроби.

3. Старинные задачи с использованием обыкновенных дробей

В различных книжных пособиях я нашёл интересные задачи, которые были использованы в различные исторические периоды.

1) Задача Эйлера.

Леонард Эйлер (4 апреля 1707г.- 18 сентября 1783г.) - является основателем русской научной математической школы. Полное собрание его сочинений насчитывает более 70 томов, а списки его трудов – более 850 названий.

Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д.»

Определите число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 49000 рублей.

2) Эту задачу более 200 лет назад задавал своим ученикам учитель математики Иоганн Хемелинг.

От числа одну восьмую

Взяв, прибавь ты к ней любую

Половину от трехсот,

И восьмушка превзойдёт

Не чуть-чуть – на пятьдесят

Три четвёртых. Буду рад,

Если тот, кто знает счёт,

Мне число то назовёт.

Решение: тот, кто знает счёт, составит уравнение

3) История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Всё, что известно о нём, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла ещё жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.

Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына.

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Решение: приняв всю жизнь Диофанта за х, можно составить уравнение

Значит, он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.

4) Известный физик А.В. Цингер в своих воспоминаниях о Л.Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась известному писателю:

«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол- артели, то ясно, что за полдня пол-артели скашивает

луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в . Если один косец скашивает в день луга, а скошено было , то косцов было восемь.

5) Задача из сборника «Вопросы и ответы» армянского учёного

Анания Ширакаци.

Один купец прошёл через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть оставшегося имущества, и в третьем городе половину и треть оставшегося имущества. И когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков.

Узнай, сколько всего денежков было вначале у купца.

Решение: принимаем всё имущество купца за х, в каждом городе он отдавал

своего имущества, значит, в первом городе он отдал х, и у него осталось х.

Во втором городе он отдал

своего оставшегося имущества, и у него осталось - = .

Аналогично вычисляется остаток имущества после прохождения третьего города

. И этот остаток равен 11, значит . У купца было 2376 денежек.

В городе Афинах был водоём, в который проведены три трубы. Первая могла наполнить водоём за 1 час, вторая – за 2 часа, а третья – за 3 часа. Узнай, за какую часть часа все 3 трубы вместе наполнили водоём.

Решение: первая труба за один час заполняет весь водоём, равный х, а вторая труба за один час заполняет половину водоёма, т.е

, а третья - . Найдём время заполнения водоёма тремя трубами .

За

часа три трубы заполнят водоём.

6) В начале XVIII века в России было немного образованных

людей. Одним из авторитетных учёных был Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739), который в 1703 году издал первый печатный учебник по математике «Арифметика». По этому учебнику обучались многие поколения русских людей. В книге Магницкого много задач с разным содержанием, включая и дроби.

«Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тое же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его выпьет тое же кадь»

Решение: муж за день будет выпивать

часть кади, а вместе с женой - часть, значит, жена за один день выпьет часть кади, а всё содержимое выпьет за 35 дней.

«Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 рублев и кафтан. Но той, работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, а коликие цены оный кафтан был.»

Решение: пусть стоимость кафтана х рублей. За один месяц работник заработал 1 рубль и

кафтана, тогда за 7 месяцев должен был получить 7 рублей и кафтана. Получаем уравнение: