Диофант. Диофантовы уравнения (стр. 2 из 3)
(n — любое целое число) тоже будут решениями.
Другой пример Д. у.
x2 + у2 = z2
Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами.
тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х = m2 - n2
у = 2mn
z = m2 + n2
где m и n — целые числа (m> n > 0).
Это уравнение определяет на плоскости R2алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.
Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.
Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (x, y), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x2 + y2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x2 – y2 = 1 и прямая y=x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x=1 имеет одну общую точку кратности 2.
Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.
Рис. 1.
Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C: x2 + y2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L: y=0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A(0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B' окружности C, лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B' будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.
Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ.
Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен f (x, y) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P(x0, y0) будет
y – y0 = k(x – x0),
где
| k = – | fx' (x0, y0) fy' (x0, y0) | . |
Если в точке P производная fx' или fy' отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если fy' (x0, y0) = 0, a fx' (x0, y0) ≠ 0, то k=∞ и касательная в P будет вертикальной).
Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,
fx' (x0, y0) = 0 и fy' (x0, y0) = 0,
то точка P называется особой.
Например, у кривой y2 = x2 + x3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней fx' = –2x – 3x2 и fy' = 2y обращаются в нуль.
Рис. 2.
Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных fxx'', fxy'' и fyy'' отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.
Рис. 3.
4. Способы решения
Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х,у) уравнение
5х - 8у = 19 … (1)
Решение.
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) =0.
Отсюда х – 7 =
. Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n 
Z.Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
n Z.Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19
х = 
.Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х =
= 
.Если у =1, то х =
= 
.Если у = 2, то х =
= 
= 7 Z.Если у =3, то х =
= 
.Если у = 4 то х =
= 
.Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение:
n Z.Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5
1 + 3.5 = 3
3 = 2
.Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2
= 3 – (5 - 3 ) 
=