Раздел 2
Синтез цифрового фильтра Баттерворта НЧ
1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ по данным раздела 1.
Для этого необходимо:
а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя;
б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости;
в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.
2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (HБ(z)).
3 Построить схемы цифрового фильтра Баттерворта.
4 Построить частотные характеристики фильтра Баттерворта.
Для этого необходимо:
а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) HБ(jω);
б) используя выражение КПФ, построить частотные характеристики HБ(ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.
1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:
где
2. Квадрат модуля передаточной функции с полиномом Баттерворта определяется по формуле [3]:
где Сn – коэффициент при старшей степени полинома знаменателя функции квадрата модуля.
Данную формулу удобнее использовать в несколько ином виде, разделив числитель и знаменатель на Сn:
Затухание ФНЧ Баттерворта определяется по формуле [3]
где ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания.
Из формул (5.1.4) выходит, что
3. Корни квадрата модуля определяются из уравнения
Для функции порядка n эти корни будут иметь вид [4]:
где k = 1,2,3…n.
Передаточная функция формируется в виде произведений полиномов второй степени (биквад) для чётных порядков. В случае нечётных порядков добавляется полином первого порядка.
Передаточная функция в общем виде будет иметь вид:
– для четных n:
где
для нечетных n:
Вначале находятся корни для Сn = 1. Все корни этого полинома располагаются на единичной окружности. Произведение двух комплексно-сопряженных сомножителей имеет вид:
Если Сn ≠ 1, то корни будут расположены на окружности радиусом
Значения корней умножают на δ. Это значит, что в сомножителе первой степени вместо 1 необходимо поставить δ, а в сомножителях второй степени коэффициент при первой степени умножается на δ, а свободный член на δ2:
На рис. 4 изображено семейство частотных характеристик при различных коэффициентах Сn.
Для построения схемы и частотных характеристик фильтра можно воспользоваться приложе- ниями В и Г соответственно.
Раздел 3
Синтез цифрового фильтра Чебышева
1 Определить операторную передаточную функцию (ОПФ) аналогового ФНЧ.
Для этого необходимо:
а) записать общее выражение ОПФ и определить корни полинома знаменателя.
б) изобразить расположение корней на комплексной плоскости.
в) изобразить требования к ФНЧ в виде функций – сомножителей первого и второго порядков.
2 Определить операторную передаточную функцию цифрового фильтра (HЧ(z)).
3 Построить схемы цифрового фильтра Чебышева.
4 Построить частотные характеристики фильтра Чебышева.
Для этого необходимо:
а) записать выражение комплексной передаточной функции (КПФ) HЧ(jω).
б) Используя выражение КПФ, построить частотные характеристики HЧ(ω) и θ(ω) синтезированного фильтра.
1. Порядок аналогового фильтра определяется по формуле [3]:
2.
3. Квадрат модуля передаточной функции ФНЧ Чебышева [3]:
где
Затухание ФНЧ Чебышева определяется как:
Корни передаточной функции полинома Чебышева расположенные в левой полуплоскости рассчитываются по формуле:
где коэффициент неравномерности в полосе пропускания определяется как
k = 1, 2,…, n.
Передаточная функция подлежащая реализации примет вид [4]:
– для четных n:
для нечетных n:
где
Далее составляются пары комплексно-сопряженных корней и записывается передаточная функция в виде произведения полиномов второго порядка.
Дальнейшие преобразования операторной передаточной функции аналогично преобразованиям аппроксимации по Баттерворту.
Раздел 4
Построение частотных характеристик
Для определения частотных характеристик фильтра необходимо перейти от передаточной функции H(z) к H(
Далее выполняются преобразования по формуле Эйлера:
Производится замена:
где
При расчетах n принимать равно 1, так как функция
С учетом введенных замен комплексная передаточная функция может быть представлена:
– модуль:
– аргумент:
По этим зависимостям можно рассчитать АЧХ и ФЧХ.
Раздел 5
Построение схем цифрового фильтра
При канонической реали- зации по передаточной функции
Обобщенная структурная схема ЦФ непосредственной реализации изображена на рисунке (5.2):
Рисунок 5.2 – Структурная схема канонической реализации фильтра (операторная схема замещения)