Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (стр. 2 из 2)
| ¶m m | = | 2dx x | ; m = Cx2. |
В частности, мы получили уже известный нам заранее интегрирующий множитель m = x2.
Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений[3].
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.
Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
Если в дифференциальном уравнении
функции М (х, у) и N (x, y) удовлетворяют условию
такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (x, y) такая, что 
Тогда из уравнения
следует, что
что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции U. Ее можно найти в виде:
любые числа, входящие в область определения функций М и N, а
– произвольная постоянная.Интегрирующий множитель, множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения
обращается в полный дифференциал (дифференциальное исчисление) некоторой функции V(x, y). T. о., если
Если
множитель мю (x,y) известен, то задача интегрирования уравнения (*) сводится к квадратурам, т. к. остаётся найти функцию U(x, y) по её полному дифференциалу[4].В нашем реферате мы рассмотрели уравнение в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берман Г.Н Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 2005. - 384с.
2. Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2002.
4. Бугров Я.С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 2003.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2001, ч. I, II.
6. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 2001. - 416 с.
7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.
8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 2002.
9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с.
10. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения:примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 2003. – 383 с.
[1] Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.
[2] Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 2001. - 416 с.
[3] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с.
[4] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.