БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»
на тему
«Применение информационных технологий
в решении нелинейных уравнений
методом последовательных приближений.»
Магистрант
кафедры математических методов
теории управления
Короц Юлия Владимировна
Руководители:
профессор, доктор физ-мат наук
Забрейко Петр Петрович
доцент Кожич Павел Павлович
Минск – 2007 г.
Список обозначений ко всей выпускной работе. 3
Глава 1. Обзор математических пакетов. 5
1.5. Какой пакет использовать для исследований разрешимости нелинейных уравнений?. 9
Глава 2. Методика исследований. 10
2.1. Теоретические выкладки. 10
Глава 3. Инструменты для работы над математическим текстом. 14
Глава 4. Основные результаты и их обсуждение. 15
Список литературы к реферату. 17
Предметный указатель к реферату. 18
Интернет ресурсы в предметной области исследования. 19
Презентация магистерской диссертации. 22
Список литературы к выпускной работе. 23
Код реализации метода Ньютона в системе Mathematica. 26
IT – информационные технологии
М.п.п. – метод последовательных приближений
Стремительное развитие информационных технологий уже подготовило основу для устранения естественного разрыва между фундаментальными знаниями и их применением на практике.
Современные информационные технологии все шире внедряются в сферу науки, обеспечивая принципиально новый уровень получения обобщения знаний, их распространения и использования.
В результате применения новых технологий легко достигаются следующие цели:
- увеличивается число рассматриваемых задач (благодаря сокращению числа рутинных преобразований);
- исследуются более сложные модели, так как громоздкие вычисления переданы соответствующим компьютерным системам исследуемой области;
- больше внимания уделяется качественным аспектам;
- исчезает страх при работе с громоздкими выкладками и приобретается уверенность в символьных вычислениях;
- прививается вкус к анализу результатов;
- вырабатываются устойчивые практические навыки проведения проведения математических рассуждений.
Очевидно важное место информационных технологий (ИТ) (в частности, систем компьютерной математики) и их развития в свете все более усложняющихся математических моделей и соответственно различных нелинейных операторных уравнений.
Процессе исследования разрешимости нелинейных уравнений, исследования применимости методов последовательных приближений часто приводит к задачам линейной алгебры. В отличие от других вычислительных задач, задачи линейной алгебры на первый взгляд представляются простыми. Однако эта простота обманчива. Например, вычисление решения линейной алгебраической системы с квадратной неособенной матрицей теоретически можно осуществить по правилу Крамера. В то же время практическое применение этого правила к системам высокого порядка нецелесообразно или даже невозможно, так как требует выполнения чрезмерного большого числа арифметических действий. Большое значение также имеет тот факт, что при вычислениях арифметические операции выполняются с погрешностями округлений, которые оказывают сильное влияние на окончательный результат.
Осознанию трудностей решения задач линейной алгебры способствовало появление быстродействующих ЭВМ, которые позволили решать задачи линейной алгебры достаточно большой размерности. Это вызвало бурное развитие вычислительных методов линейной алгебры, которые в настоящее время можно считать наиболее разработанным разделом методов вычислений.
Однако зачастую получаемый результат зависит от выбранного пути решения чисто математической задачи, поэтому представляется интересным проанализировать применение того или иного математического пакета к решению конкретной теоретической проблемы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные и популярные системы компьютерной математики, проанализирована эффективность их применения в предметной области, будет детально рассмотрен пример решения конкретной задачи с помощью выбранной системы, а также будут рассмотрены наиболее удобные инструменты для работы над текстом диссертации.
К таким комплексам относятся пакеты программ Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др.
Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, справочной системы, основанной на технологии Mathcad Calculation Server, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке.
Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических символов, выражений и формул.
Формульный процессор обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Последняя версия Mathcad полностью поддерживает буквы кириллицы в комментариях, формулах и на графиках.
Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д.
Можно легко менять разрядность и базу чисел (двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная), а также погрешность итерационных методов. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения.
В Mathcad встроены средства символьной математики, позволяющие решать задачи через компьютерные аналитические преобразования.
Графический процессор служит для создания графиков и диаграмм. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями средств деловой и научной графики. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение вида и размера графиков, наложение на них текстовых надписей и перемещение их в любое место документа.
Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники – везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.
Mathcad интегрирован со всеми другими компьютерными системами счёта.
Mathcad позволяет легко решать такие задачи как:
· ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных и обычных «бумажных» книг);
· проведение математических расчётов (как аналитических, так и при помощи численных методов);
· подготовка графиков (как двумерных, так и трёхмерных) с результатами расчётов;
· ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;
· подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
· подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;
· получение различной справочной информации и многие другие задачи.
Mathcad создает удобную вычислительную среду для самых разнообразных математических расчётов и документирования результатов работы в рамках утверждённых стандартов.
Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, частично подобный Паскалю.