«Теория вероятностей и математическая статистика» (стр. 3 из 9)
Результаты обучения. В результате изучения данных тем обучающийся должен:
· уметь приводить примеры случайных событий;
· понимать, что вероятность – числовая мера правдоподобия события, что вероятность – число, заключённое в пределах от 0 до 1;
· верно понимать фразы вида «вероятность события равна 0,3»;
· знать, что такое частота события, что при увеличении числа опытов частота приближается к вероятности;
· иметь представление о математической монете и игральной кости;
Тема №4 . События и вероятности.
Основная идея. Развивать представление о случайном событии, приписывая каждому из них некоторую вероятность – численное выражение шансов на осуществление этого события, возможность прогнозирования событий на основе знания вероятностей. Осуществить переход от качественного описания событий к их математическому описанию. Ввести понятия: элементарные события, равновозможности, равновероятности и вероятности элементарных событий. Напомнить, что
· любое случайное событие требует условий, в которых оно может осуществиться;
· случайный опыт порождает случайные события, событие без опыта невозможно;
· в результате опыта наступает одно и только одно событие.
Решение каждой задачи следует начинать с описания множества элементарных событий и благоприятствующих элементарных событий.
Результаты обучения. В результате изучения данной темы обучающийся должен:
· иметь представление об элементарном событии как о простейшем событии, которое нельзя составить из более простых событий;
· знать, что любой случайный опыт оканчивается одним и только одним элементарным событием;
· уметь вводить обозначения для элементарных событий простого опыта;
· уметь записать элементарные события простого опыта, например, бросание одной или двух игральных костей, бросании монеты и т.п.
· распознавать опыты, в которых элементарные события считаются равновозможными;
· знать, что сумма вероятностей всех элементарных событий равна единице;
· вычислить вероятность элементарного события в опыте с равновозможными событиями;
· знать, что такое противоположные события и уметь находить вероятность одного из них по вероятности другого;
· понимать, что такое объединение и пересечение событий;
· понимать, что такое несовместные события;
· знать и уметь применять формулу сложения вероятностей для несовместных событий (минимум); желательно знание формулы сложения для произвольных событий;
· знать, что такое независимые события (и не путать их с несовместными);
· уметь применять формулу умножения вероятностей независимых событий.
Практическое задание
Цель исследования. Установить, можно ли считать первую пришедшую в голову цифру от 0 до 9 случайной.
Ход исследования. В классе должно присутствовать по крайней мере 20
учащихся. Каждый ученик, приготовив заранее листок бумаги и ручку, по
команде учителя, не задумываясь, быстро пишет на листке четыре первые
пришедшие ему в голову цифры от 0 до 9.
Затем все листки сдаются учителю. Учитель сам или с помощником подсчитывает, сколько раз написана каждая из цифр. Полученные данные заносятся в таблицу.
Анализ результатов. Если выбор носит чисто случайный характер, то все цифры должны встретиться примерно одинаковое количество раз. Например,
| Цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| Сколько раз эта цифра написана |
если в классе 20 учеников, то всего получено 80 цифр. Тогда каждая цифра должна встречаться примерно 8 раз. Если цифра встречается менее 4 раз, то её можно считать «редкой». Если цифра встретилась более 12 раз, то такая цифра «частая». Пользуясь построенной таблицей, ответьте на вопросы.
а) Есть ли в таблице «частые» и «редкие» цифры?
б) Попробуйте объяснить, какие исторические явления и культурные традиции связаны с числами 3 и 7. А с числом 8?
Сделайте вывод о том, можно ли считать первую пришедшую и голову цифру случайной.
Примеры решения задач. Приведем несколько примеров решения типовых задач.
1. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ъ и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, abсd, cad и так далее.
а) Является ли cdab элементарным событием в этом опыте?
б) Какими буквами может заканчиваться запись элементарного события?
в) Выпишите все элементарные события этого опыта.
г) Сколько различных элементарных событий записывается тремя буквами?
Решение.
а), б) Эксперимент заканчивается извлечением бракованной детали. Поэтому запись любого элементарного события оканчивается либо буквой с, либо буквой d. Следовательно, cdab элементарным событием не является.
в) Все элементарные события:
cd, dc, acd, adc, bсd, bdс, dac, cad, dbc, cbd, abсd, abdc, bacd, badс, cabd, cbad, dabc, dbac, acbd, bсad, adbс, bdac.
г) При решении предыдущего параграфа выписаны все элементарные
события. Из них 8 событий записывается тремя буквами.
2. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла, и буквой Р выпадение «решки».
а) Подбросим монету два раза. Появление двух орлов записывается
как 00. Это одно из элементарных событий этого опыта. Выпишите все
элементарные события этого опыта.
б) Подбросим монету три раза. Выпишите все элементарные события
этого опыта.
в) Во сколько раз больше число элементарных событий при трех броса
ниях монеты, чем при двух бросаниях монеты?
Решение.
а) 00, РО, OP, PP. Здесь встречается типичная ошибка: отождествляются
элементарные события РО и ОР. Это разные события!
б) 000, OOP, ОРР, ОРО, POO, POP, РРО, РРР.
в) при двух бросаниях 4 элементарных события, при 3 бросаниях — 8
событий, то есть в 2 раза больше.
3. а). Случайный опыт может закончиться одним из трех элементарных событий: a, b или с. Чему равна вероятность элементарного события с, если
P(a) = 1/2, P(B)=1/3 ?
Решение. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1: Р{а) + Р(Ь) + Р(с) = 1, откуда Р(с) = 1 - (1/2 + 1/3) = 1/6.
4. Три первоклассника по очереди покупают воздушные шарики. Каждый из них покупает шарик одного из двух цветов: зеленого (3) или синего (С). Выпишите элементарные события этого эксперимента. Считая, что все они равновозможны, найдите вероятность каждого из них.
Решение. Какова бы ни была очередность первоклассников, каждый из них может выбрать любой из шариков. Элементарные события:
333, ЗЗС, ЗСЗ, ЗСС, СЗЗ, ССЗ, СЗС, ССС.
Всего 8 событий, поэтому вероятность каждого равна 1/8.
8
5. Симметричную монету бросают трижды. Выпадение орла при каждом бросании обозначим через О, а выпадение решки — через Р. Выпишите элементарные события, благоприятствующие событию «выпал ровно один орел».
Решение. Указанному событию благоприятствуют те элементарные события, в записи которых присутствует ровно одна буква О. Это элементарные события ОРР, POP и РРО.
Анализ и решение данных задач можно осуществлять по следующей схеме:
1. Уясните, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание.
2. Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии
задачи.
3. С помощью введенных обозначений выразите событие, вероятность наступления которого необходимо найти.
4. Если требуется найти вероятность суммы событий, выясните,
совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же
требуется найти вероятность произведения событий, выясните,
зависимы или независимы рассматриваемые события.
5. Выберите соответствующую условию задачи формулу и вы
полните необходимые вычисления.
6. Иван Иванович отправился охотиться на медведей и зайцев и оценивает свои перспективы следующим образом:
— Один шанс из четырех за то, что попадется только заяц; один к десяти за то, что подстрелю только медведя; один к сорока,— что будет и медведь, и заяц.
Найдите вероятность того, что не видать Ивану Ивановичу в качестве охотничьего трофея:а) ни одного зайца; б) ни одного медведя; в) ни медведя, ни зайца.
Решение. Введем обозначения для событий: А —«ни одного зайца», В — «ни одного медведя» и С —«ни медведя, ни зайца».Элементарными событиями опыта являются следующие события: «только заяц» (а), «только медведь» (Ь), «и заяц, и медведь» (с) и «ни зайца, ни медведя» (d). Из условия задачи находим: Р(a) = 1/4, Р(b) = 1/10 и Р(с) = 1/40.
Тогда P(d) = 1-(1/4+ 1/10 + 1/40) = 5/8.
Событию А благоприятствуют элементарные события b и d.
Поэтому Р(А) = Р(Ь) + P(d) = 1/10 + 5/8 = 29/40.
Аналогично находятся вероятности остальных событий.
7. В коробке лежат 24 одинаковые авторучки. Из них 13 красные, 5 зеленые, остальные — синие. Продавец наудачу достает одну авторучку. Найдите вероятности событий:
а) «извлеченная ручка красная»;
б) «извлеченная ручка не зеленая».
Решение. Элементарными событиями в описанном опыте являются со
бытия К, 3 и С.
а) Вероятность элементарного события К равна 13/24.