«Теория вероятностей и математическая статистика» (стр. 4 из 9)
б) Вероятность элементарного события 3 равна 5/24. Синих ручек 6,
следовательно, вероятность элементарного события С равна 6/24.
Событию А «извлеченная ручка не зеленая» благоприятствуют элементарные события К и С, поэтому Р(A) = 13/24 + 6/24 = 19/24.
8. Могут ли быть противоположными события С и D, если
а) Р(С) = 0,12; P(D) = 0,78; б) Р(С) = 0,14; P(D) = 0,86.
Решение, а) Р(С) + Р(D) = 0,12 + 0,78 = 0,9. Полученная сумма не равна 1, поэтому события С и D не являются противоположными.
б) P(C)+P(D) =0,14 + 0,86= 1. Полученная сумма равна 1, поэтому
события С и D могут (но не обязаны) быть противоположными.
9. а). Бросают одну игральную кость. Событие А — «выпало четное число очков». Событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 3. Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событие AUB. Найдите P(AUB).
Решение. Элементарными событиями опыта можно считать числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событию А благоприятствуют элементарные события 2, 4 и 6. Событию В благоприятствуют элементарные события 3 и 6.
Событие A U В состоит в том, что выпало либо четное, либо кратное трем число очков. Этому событию благоприятствуют 4 элементарных события 2, 3, 4 и 6. Все элементарные события равновозможны, поэтому P(AUB) = 4/6 = 2/3.
10. Известно, что Р(А) = 0,4, Р(В) = 0,8 и Р(А∩В) = 0,2. Докажите, что событие A UB является достоверным.
Решение. Применим формулу сложения вероятностей:
P(AUB) = Р(А)+Р(B)-Р(A∩B) = 0,4 + 0,8 – 0,2 =1
Следовательно, событие AUB является достоверным. Доказательство окончено.
11. а). Бросают одну игральную кость. Событие А — «выпало четное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что выпало число очков, кратное 3.
| 1 |
Решение. Элементарными событиями этого опыта являются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событию А благоприятствует 3 элементарных события 2, 4 и 6, поэтому
Р(А) = 1/2. Событию В благоприятствует 2 элементарных события 3 и 6, поэтому P(B) = 1/3. Событие А ∩ В состоит в том, что выпало число 6. Поэтому Р(А∩В) = 1/6.
Нужно проверить равенство Р(А∩В) = Р(А) • Р(В).
Подставим в это равенство найденные значения: 1/6 = 1/2 • 1/3. Равенство верно. Следовательно, события А и В независимы.
12. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?
Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие
В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) = 0,4 • 0,3 = 0,12.Тема №5 . Элементы комбинаторики
Основная идея. Дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта. Познакомить учащихся с перестановками и факториалом числа, правилом умножения и числом сочетаний, построением треугольника Паскаля. Формулировки Комбинаторные задачи желательно формулировать на простых, понятных и запоминающихся примерах из жизни, а не в формальных терминах перестановок и сочетаний и т.п. Кроме того, полезно начинать знакомство с тем или иным комбинаторным правилом методом простого перебора и обращать внимание, что его можно использовать для поверки применяемой формулы, если перебор не велик.
Результаты обучения. В результате изучения данной темы обучающийся должен:
· уметь методом перебора находить ответы в комбинаторных задачах для небольших объёмов перебора;
· уметь вычислять число упорядоченных пар, пользуясь правилом умножения;
· уметь вычислять n!; знать факториалы натуральных чисел до 5! и уметь пользоваться таблицей факториалов до 10!;
· уметь находить число перестановок элементов произвольного конечного множества;
· уметь вычислять
, пользуясь формулой 
= 
· уметь решать простейшие задачи, в которых число благоприятствующих элементарных событий находится как число сочетаний
Примеры решения задач.
Три вида основных комбинаторных задач.
1. В соревновании участвуют 7 команд. Сколько существует вариантов распределения мест между командами?
2. В полуфинале участвовало 7 команд. Из них в финал вышли 3. Сколько различных вариантов выхода команд в финал?
3. Из 7 команд, участвующих в полуфинале, 3 команды разыграли медали: золотую, серебряную и бронзовую. Сколько различных вариантов тройки победителей существует?
Из этих задач видна общая схема их решения: имеются некоторые множества, содержащие n, из этих элементов составляются различные наборы, комбинации, которые можно различать:
· по порядку расположения элементов;
· по составу;
· по составу и порядку;
А значит и решения этих задач будут основываться на различных формулах комбинаторики:
1. Число перестановок: 
n•(n-1)•(n-2)•…•2•1 = n! ;
= 7!= 5040.
2. Число сочетаний:
= 
; 
= 
= 35.
3. Число размещений:
= n•(n-1)•(n-2)•…•(n-k+1); 
= 7•6•5 = 210.13. На книжной полке стоят 20 книг по алгебре, 12 — по теории вероятностей, 7 — по геометрии и 25 — по литературе. Сколькими способами можно выбрать книгу по математике?
Решение. Найдем число способов, которыми можно выбрать книгу по алгебре, или по теории вероятностей, или по геометрии. Книгу по алгебре можно выбрать 20 способами, по теории вероятностей — 12 способами и по геометрии— 7 способами. Эти выборы несовместны. Поэтому по правилу суммы находим, что выбрать книгу по математике можно N = 20+ 12 + 7 = 39 способами.
14. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числе не повторяются?
Решение. На месте сотен поставим любую из трех цифр. После каждого такого выбора на месте десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр, так как цифры в числе не повторяются. Наконец, на месте единиц можно поставить оставшуюся одну цифру. Повторным применением правила произведения найдем число трехзначных чисел, равное N = 3 • 2 • 1=6.15.Сколько различных «слов», состоящих не менее чем из четырех разных букв, можно образовать из букв слова ученик?
Решение. Слово ученик состоит из шести различных букв. По правилу произведения можно составить
= 6 • 5 • 4 • 3 = = 360 четырехбуквенных слов, N2 = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 = 720 пятибуквенных иN3 = 6∙5∙4∙3∙2∙1= 720 шестибуквенных слов. По правилу суммы всего можно составить N = 360 + 720 + + 720 = 1800 слов, состоящих не менее чем из четырех букв.
16. В подразделении 5 офицеров, 10 сержантов и 50 солдат. Сколько нарядов, состоящих из 1 офицера, 2 сержантов и 3 солдат, можно составить?
Решение.
=13230000.Тема №6 . Испытания Бернулли
Основная идея. Схема испытаний Бернулли является не только относительно простой, полезной и распространённой на практике моделью однотипных повторяющихся независимых опытов с двумя возможными исходами. Она играет в теории вероятностей важную методическую роль, определяя алгоритм приближенного поиска вероятностей многих интересующих нас событий. Если учитель не сочтёт возможным касаться всех вопросов этой темы в основном курсе, а остановится только на самой схеме Бернулли, то он должен хорошо понимать, что здесь им закладывается основа для углубленного знакомства учащихся с теорией вероятностей. Сама по себе схема испытаний Бернулли объединяет целый ряд понятий и методов, введённых ранее. Это представление о множестве элементарных событий, понятие о независимости событий, правило умножения вероятностей, число сочетаний. Таким образом, эта важная
Результаты обучения. В результате изучения данной темы обучающийся должен:
· знать, что такое отдельное испытание Бернулли, что такое успех и неудача и как связаны их вероятности;