«Теория вероятностей и математическая статистика» (стр. 7 из 9)

2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0,63 может наступить событие A, с вероятностью 0,59 —событие В и с вероятностью 0,22 —событие

А ∩ В. Найдите вероятность события A U В. Является ли событие A U В достоверным?

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет четное число, а во второй — число, большее чем 3.

4. В экзамене 6 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик правильно ответит хотя бы на один вопрос.

5. В кармане у Буратино 5 золотых и 6 серебряных монет. Все монеты одинаковы по форме и размеру. Буратино, не глядя, вынимает из кармана 5 монет. Найдите вероятность того, что все эти монеты — золотые.

Вариант 2

1. Слово «Математика» написали на картонке и разрезали картонку на буквы. Буквы перемешали. Найдите вероятность вытащить наудачу картонку с гласной буквой.

2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0,78 может наступить событие А, с вероятностью 0,34 —событие В и с вероятностью 0,11 —событие A∩B. Найдите вероятность события AUB? Верно ли, что событие AUB достоверное?

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет нечетное число, а во второй — число, меньшее чем 3.

4. В экзамене 5 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик даст хотя бы один неверный ответ.

5. В вазочке на шкафу 4 конфеты с фруктовой начинкой и 5— с молочной. Все конфеты одинаковы по форме и размеру. Маша дотянулась рукой до вазочки и, не глядя, выбирает 5 конфет. Найдите вероятность того, что все выбранные конфеты имеют молочную начинку.

9 класс

Самостоятельная работа 1 по теме «Геометрическая вероятность»

1. В отрезке ВС случайным образом выбирается точка А. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит отрезку ОМ, где О — середина отрезка ВС, а M — середина отрезка ОВ.

2. Из числового отрезка [2; 5] наудачу выбираются точки х и у. Найдите

вероятность того, что х ≤ 3, а у ≥ 4.

3. На прямоугольном листе бумаги размером 10 см на 20 см нарисован квадрат. На лист бумаги случайным образом ставится точка. Вероятность того, что эта точка окажется внутри квадрата, равна 0,08. Найдите длину стороны нарисованного квадрата.

4*. В треугольнике ABC с тупым углом В случайным образом выбирается точка М. Точка D — середина высоты ВН. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит:

а) треугольнику ADC; б) треугольнику ABD.

Самостоятельная работа 2 по теме «Испытания Бернулли»

1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р =

. Найдите вероятность элементарного события, в котором

наступает сначала 2 успеха, а затем —4 неудачи.

2. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли?

3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету.

4*. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите

вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.

Самостоятельная работа 3 по теме «Распределение случайной величины»

1. Случайная величина принимает все четные значения от —2 до 6 с равными вероятностями. Постройте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

2. Пять человек выстраиваются в очередь случайным образом. Среди этих пятерых в очереди стоит Иван Иванович. Постройте распределение случайной величины «число людей в очереди, стоящих перед Иваном Ивановичем».

3. В таблице дано распределение некоторой случайной величины X. Найдите пропущенную вероятность.

Значение	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,16	0,2	0,03	0,05	0,12	0,07		0,24

4*. Случайная величина Z принимает натуральные значения от 1 до 6 с вероятностями P(Z = к) =

Найдите значение а.

Самостоятельная работа 4 по теме

«Математическое ожидание и дисперсия»

1. Случайная величина принимает все нечетные значения от —3 до 5 с равными вероятностями. Найдите ее математическое ожидание.

2. В таблице дано распределение случайной величины X. Чему равно Е(Х)?

Значение	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,16	0,19	0,02	0,06	0,11	0,06	0,15	0,25

3. Игральную кость бросили 64 раза. Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X, равной числу выпадения четного числа очков.

4*. Серию испытаний Бернулли проводят дважды. В первый раз вероятность успеха была равна

, а во второй раз вероятность успеха равнялась

В обоих случаях случайная величина S —число наступивших успехов. В каком из случаев ожидаемый разброс величины S больше?

Примерная контрольная работа

Вариант 1

1. Найдите вероятность наступления ровно 3 успехов в 8 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р =

.

2. В таблице дано распределение случайной величины X. Чему равна пропущенная вероятность?

Значение	1	2	3	4	5	6
Вероятность	0.16	0.29		0.16	0,21	0,06

3. Игральную кость бросают один раз. Найдите математическое ожидание случайной величины «сумма кубов числа выпавших очков».

4. Игральную кость бросили 120 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины «число выпадений четверки».

5*. В квадрат со стороной 1 дм вписан круг. Из квадрата случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что обе точки принадлежат кругу.

Вариант 2

1. Найдите вероятность наступления ровно 4 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью неудачи q =

.

2. В таблице дано распределение случайной величины X. Чему равна пропущенная вероятность?

Значение	-3	-2	-1	1	2	3
Вероятность	0,17	0,28	0,1		0,19	0,08

3. Игральную кость бросают один раз. Найдите математическое ожидание случайной величины «сумма квадратов числа выпавших очков».

4. Игральную кость бросили 180 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины «число выпадений двойки».

5*. В круг радиусом 1 дм вписан квадрат. Из круга случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что обе точки принадлежат квадрату.

V. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

Баррель (от слова «бочка») — единица объема, принятая для нефти; примерно 159 литров.

Бином Ньютона — формула для возведения в п-ю степень двучлена (бинома) a + b:

=

+

+

+ ... +

Название формула получила в честь великого английского математика сэра Исаака Ньютона, который обобщил ее на случай дробных и отрицательных показателей степени.

Биномиальные коэффициенты — коэффициенты в формуле бинома Ньютона. Каждый коэффициент

является числом сочетаний из п по к.

Благоприятствующее элементарное событие. Элементарное событие, при наступлении которого наступает событие А, называется элементарным событием, благоприятствующим событию А.

Вероятность — числовая мера правдоподобия события. Вероятность принимает значения от 0 до 1.

Выбор наудачу (случайный выбор) — выбор одного предмета из некоторого набора, при котором шансы на выбор любого предмета одинаковы.

Выборка — часть всей совокупности людей или предметов, отобранная для исследования. Например, выборкой является группа избирателей, которую опрашивают для предварительного выяснения шансов кандидатов на избрание в парламент страны.