Принагідно зауважимо, що багато хто з математиків вважає, що описаний простий спосіб порівняння кількостей елементів у двох скінченних множинах логічно передує виникненню поняття числа.
Кількість елементів скінченної множини A прийнято позначати через |A|.
Таким чином, неважко переконатись, що між двома скінченними множинами A і B існує взаємно однозначна відповідність тоді і тільки тоді, коли |A|=|B|.
Сформульоване твердження дозволяє розв'язувати задачу обчислення кількості елементів множини A шляхом встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною A і деякою множиною B, кількість елементів якої відома або легко може бути визначена. Для ілюстрації цього методу доведемо наступну важливу теорему про кількість підмножин заданої скінченної множини.
Теорема 1.1. Нехай A = {a1,a2,...,an} - скінченна множина з n елементів (|A|=n), тоді кількість усіх підмножин множини A дорівнює 2n, тобто 2|A|.
Доведення. Розглянемо множину всіх кортежів (b1,b2,...,bn) довжини n, які складаються з двійкових цифр 0 або 1 (тобто biÎB={0,1}, i=1,2,...,n). Очевидно, що множина цих кортежів є Bn.
Встановимо таку відповідність між підмножинами множини A і кортежами з Bn. Кожній підмножині A'ÍA поставимо у відповідність двійковий кортеж (b1,b2,...,bn) такий, що
ì 0, якщо aiÏA',
bi = í
î 1, якщо aiÎA'.
За цим правилом порожній множині ÆÍA відповідає кортеж (0,0,...,0), самій множині A - кортеж (1,1,...,1), а підмножині A' = {a2, a4} - кортеж (0,1,0,1,0,...,0). Встановлена відповідність є взаємно однозначною. Отже кількість усіх підмножин множини A дорівнює |Bn |.
Методом математичної індукції доведемо, що |Bn| =2n.
Для n=1 маємо B1= B і |B| = 2 = 21.
Припустимо, що |Bk-1 | = 2k-1. З того, що кожному елементові (b1,b2,...,bk-1) множини Bk-1 відповідають два елементи (b1,b2,...,bk-1,0) і (b1,b2,...,bk-1,1) множини Bk випливає, що кількість елементів у множині Bk вдвічі більша від кількості елементів у множині Bk-1.
Тобто |Bk | =|Bk-1 |*2 =2k-1*2 = 2k. Теорема 1.1 доведена.
Множину всіх підмножин деякої множини A (скінченної або нескінченної) часто позначають через b(A) і називають булеаном множини A. З доведеної теореми випливає, що для скінченної множини A виконується | b(A)|= 2|A|.
Множини A і B назвемо рівнопотужними або множинами, які мають рівні (однакові) потужності, якщо існує взаємно однозначна відповідність між множинами A і B.
Таким чином, дві скінченні множини A і B мають однакову потужність тоді та лише тоді, коли вони складаються з однакової кількості елементів. Отже, поняття потужності є узагальненням поняття кількості елементів множини.
Зверніть увагу на те, що ми не означили безпосередньо поняття "потужність множини", а лише дали означення рівнопотужності множин. Кантор пропонував розуміти під потужністю ту спільну властивість, яку мають всі рівнопотужні множини. Виходячи з того, що для рівнопотужних скінченних множин такою спільною властивістю є кількість їхніх елементів, за аналогією переносять цю властивість на нескінченні множини, що, взагалі кажучи, не зовсім коректно, в чому ми переконаємось нижче.
Якщо рівнопотужність множин A і B позначити через A~B, то безпосередньо з означення випливають такі властивості рівнопотужності:
1. A~A (рефлексивність);
2. Якщо A~B, то B~A (симетричність); (1.9)
3. Якщо A~B і B~C, то A~C (транзитивність).
Наведемо декілька прикладів рівнопотужних нескінченних множин.
Приклад 1.12. 1. Множина натуральних чисел N рівнопотужна множині S={1,4,9,16,...}, яка складається з квадратів натуральних чисел. Необхідна взаємно однозначна відповідність встановлюється за законом (n,n2), nÎN, n2ÎS.
2. Множина Z всіх цілих чисел рівнопотужна множині P всіх парних чисел. Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється таким чином: (n,2n), nÎZ, 2nÎP.
3. Множина точок інтервалу (-p/2, p/2) рівнопотужна множині точок дійсної прямої. Шукана взаємно однозначна відповідність встановлюється за допомогою тригонометричної функції tg: (x,tg x), xÎ(-p/2, p/2), tg xÎ(-¥,¥) (див. рис.1.3,а).
4. Множини точок двох довільних відрізків a і b рівнопотужні. Правило, за яким встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками відрізків a і b різної довжини, зображено на рис.1.3,б. Кожний промінь з точки O, який перетинає відрізки a і b в точках v і w, утворює одну пару (v,w) необхідної взаємно однозначної відповідності.
5. Аналогічним чином може бути встановлена взаємно однозначна відповідність між множинами точок двох довільних квадратів K1 і K2 різних розмірів (див.рис.1.3,в).
Зауваження. З рівнопотужності довільних відрізків і транзитивності рівнопотужності можна зробити висновок, що будь-який відрізок рівнопотужний інтервалу (-p/2, p/2) і, значить, рівнопотужний всій прямій.
а) б) в)
Рис.1.3.
З усіх наведених прикладів випливає, що нескінченна множина може бути рівнопотужна своїй власній підмножині, що очевидно неможливо для скінченних множин. Саме незвичність і екзотичність висновків типу "множина парних чисел містить стільки ж елементів, як і множина всіх цілих чисел", "будь-який інтервал містить стільки ж точок, як і вся пряма" тощо призвели до того, що у канторівської теорії множин поряд із палкими прихильниками було чимало рішучих противників. Вони категорично відкидали всі спроби дослідження та порівняння нескінченних множин. Серед іншого й на тій підставі, що "частина завжди "менша" від цілого і не може бути "рівна" цілому". Але це не злякало Кантора. Він зрозумів і своїми результатами переконував інших, що нескінченні множини підлягають новим законам, непридатним для скінченних множин. Розвиваючи цю тезу, Р.Дедекінд взагалі запропонував вважати нескінченною множиною таку множину, яка рівнопотужна своїй власній підмножині, тобто покласти цю "дивну" властивість в основу означення нескінченної множини.
Наступне питання, яке постало перед Кантором: чи всі нескінченні множини рівнопотужні?
8. Зліченні множини
Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається зліченною множиною.
Іншими словами, зліченна множина A - це така множина, всі елементи якої можна занумерувати числами 1,2,3,..., тобто можна вказати спосіб, за яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1, другому - число 2, третьому - число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну множину A можна подати у вигляді
A = {a1,a2,a3,...,an,...}.
Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел, які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.
Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.
Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.
Доведення. Оскільки M нескінченна множина, візьмемо два елементи a1,b1ÎM (a1¹b1). Очевидно, множина M\{a1,b1} є нескінченною множиною. Тоді візьмемо наступні два нові елементи a2,b2ÎM \{a1, b1} (a2¹b2 ) і т.д. Таким чином, ми виділимо з множини M дві зліченні множини A={a1,a2,...,an,...}ÍM і B={b1,b2,...,bn,...}ÍM. Це дозволяє підсилити формулювання теореми. А саме: будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину A і при цьому множина M \ A є нескінченною множиною (оскільки BÍM \ A).
Теорема 1.3. Будь-яка підмножина зліченної множини є або скінченною, або зліченною множиною.
Доведення. Нехай A={a1,a2,...,an,...} - зліченна множина і BÍA. Отже, B={a1,a2,...,ak,...} і можливі дві ситуації: або послідовність у фігурних дужках уривається на деякому елементі, тоді B - скінченна множина, або послідовність у дужках нескінченна, для якої, встановлюючи відповідність (l,al), lÎN, одержуємо, що B - зліченна множина.