У загальному випадку пряма
ділить площину на дві півплощини. В одній із них матимемо , а в другій .
Отже, півплощини задаються нерівностями або .
Якщо треба включити і граничну лінію півплощини, то пишуть
або залежно від того, яка півплощина мається на увазі.
Якщо задано систему нерівностей, то вона, взагалі кажучи, визначає деякий многокутник.
Приклад 2. Побудувати фігуру, що описується системою нерівностей:
Р о з в ’ я з о к. Щоб побудувати граничну пряму, треба мати дві точки. Наприклад, для першої нерівності при одержимо і при одержимо . Тепер можна побудувати три граничні прямі (рис.3.3).
Розглянемо тепер яку-небудь точку, наприклад , і підставимо її координати у нерівності. Легко перевірити, що всі
нерівності цією точкою задовольняються. Отже, система нерівностей описує область площини , обмежену сторонами трикутника, причому граничні прямі і включаються в цю область, а
Рис.3.3 пряма не включається (строга нерівність).
Штрихування сторін трикутника спрямоване всередину трикутника. Це означає, що область, обмежена сторонами
трикутника, є його внутрішністю. Якби в заданій системі нерівностей всі знаки поміняти на протилежні, то область, що визначалась би одержаною системою нерівностей, була б зовнішньою по відношенню до трикутника. Якщо, наприклад, третю нерівність записати у вигляді , то одержимо область, обмежену відрізком , півпрямою і півпрямою . Цілком можливі випадки, коли система нерівностей не визначає ніякої області на площині. У цьому випадку вона є суперечливою.
Міркування, висловлені по відношенню до лінійних нерівностей можуть бути перенесені і на складніші (нелінійні ) нерівності та системи нерівностей. Наприклад, нерівність описує внутрішність круга з центром у початку координат, включаючи і границю круга. У випадку строгої нерівності границя круга не входить до області площини, що описується нерівністю.
В. Лінії в полярній системі координат.
При розгляді полярної системи координат було встановлено, що полярний радіус змінюється від до , а полярний кут може набувати значень , де .
Лінію в полярній системі координат можна задати її рівнянням у вигляді або .
Побудова лінії здійснюється обчисленням за заданими значеннями .
Приклад 1. Побудувати графік функції , (чотирипелюсткова троянда).
Р о з в ’ я з о к. Через те, що , то , тобто вся крива розміщена всередині круга радіуса .
Для побудови графіка досить розглянути у проміжку , бо внаслідок періодичності далі всі значення будуть повторюватись. Значення і вигідно обчислювати, вибравши
певний масштаб для , через певні проміжки для .
Точку (рис.3.4) треба будувати на полярному радіусі. якщо . Наприклад, для маємо (див. точку ),
а для (див. точку ).
| 0 | ||||||||||||
Для детальнішого вивчення характеру лінії корисно полярне рівняння записати в прямокутних координатах, користуючись тим, що
Тоді дане рівняння запишеться у вигляді
Рис.3.4
Звідси видно, що крива симетрична як відносно осі так і відносно осі , тобто вона є центрально - симетричною. Цей факт значно спрощує побудову. Проте побудову лінії в даній задачі краще здійснювати за полярним рівнянням лінії.
Приклад 2. Побудувати графік функції
.
Р о з в ’ я з о к. Побудова графіка в прямокутній системі координат досить важка. Але, якщо перейти до полярних координат, то рівняння стане значно простішим. Справді, введемо полярні координати: . Тоді матимемо
.
Отже,
.
Подальша побудова здійснюється так само, як і у попередньому прикладі. Але, перш ніж приступати до побудови, доцільно за допомогою рівняння в прямокутних координатах встановити, що потрібна крива симетрична як відносно осі , так і відносно осі . Тому криву досить
Рис.3.5 побудувати у першій чверті, а потім
її доповнити центрально- симетричним відображенням (рис.3.5).
3.2.4. Параметричні рівняння ліній
У деяких випадках, особливо в механіці, рівняння ліній записують так, що координати точки і виражаються як функції деякого допоміжного параметра. Таким параметром у механіці і у фізиці виступає час , тобто рівняння руху матеріальної точки записують у вигляді
Тому такі рівняння і називають параметричними.
Взагалі кажучи, з першого рівняння можна виразити через , тобто . Якщо тепер це значення підставити у друге рівняння, то одержимо
.
Приклад. Дві прямі обертаються навколо двох нерухомих точок, залишаючись весь час взаємно перпендикулярними. Знайти множину точок їх перетину.
Р о з в ’ я з о к. Нехай . Побудуємо прямокутну систему координат так, як показано на рис. 3.6. Введемо параметр як кут прямої з віссю .
Тоді
.
Отже, параметричні рівняння точок перетину прямих і будуть такими:
Рис.3.6 Щоб перейти до декартових координат,
піднесемо обидві рівності у квадрат і додамо їх. Тоді одержимо . Далі легко одержати таке рівняння: .
Отже, шуканою множиною точок перетину прямих є коло радіуса з центром у точці .