Пошукова робота на тему:
Первісна функція і неозначений інтеграл. Основні властивості неозначеного інтеграла.Таблиця основних інтегралів.
План
Тільки допустивши нескінченно малу (величину)
для спостереження – диференціал історії,
тобто однорідні захоплення людей, і досягнувши
мистецтва інтегрування (брати суми цих нескінченно
малих ), ми зможемо надіятись на пізнання законів історії .
О. М. Толстой
1. Неозначений інтеграл
За допомогою диференціального числення вивчають локальні властивості функції однієї або кількох змінних тобто властивості як завгодно малого околу точки, яка належить графіку функції однієї змінної, або поверхні, що описується функцією двох змінних, або гіперповерхні, що описується функцією багатьох змінних . Для таких властивостей відносять поняття зростання і спадання функції в точці, екстремумів, областей опуклості та вгнутості, точок перегину, характеристики функції в околі точок розриву, поведінки на нескінченності .
Основним поняттям диференціального числення були похідна та диференціал, які виникли з граничних переходів у разі прямування приростів незалежних змінних до нуля ( прямування точок, що належать геометричному об’єкту, описуваному функцією, до заданої конкретної точки ).
Але такі поняття як довжина дуги, площа області, обмеженої замкненою плоскою кривою, об’єм області, обмеженої замкненою поверхнею, статичні моменти тіла, центр його ваги, момент інерції, робота сили, внутрішня енергія газу, атмосферний тиск на певній висоті й багато інших проблем природознавства, нашого повсякденного життя вимагають знання функцій, що описують ці поняття в цілому , а не лише в околі окремих точок . Проте ці дві характеристики (характеристика функції в околі точки і характеристика функції в цілому ) взаємозв’язані. Так, наприклад, знаючи, як визначати момент інерції матеріальної точки відносно деякої площини, можна прийти до способу визначення моменту інерції тіла . Для цього досить мислено розглядати тіло як множину окремих його частин достатньо малих розмірів (диференціювання ) і, вважаючи їх матеріальними точками, обчислити суму моментів інерції цих частин відносно площини. У результаті отримаємо наближено момент інерції тіла . Переходячи в цій сумі до межі , коли розміри частин прямують до нуля (інтегрування ) , дістанемо точне значення моменту інерції тіла .
Отже диференціювання за певних припущень є оберненою дією відносно інтегрування і, навпаки, подібно до того, як множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня, логарифмування і потенціювання, є взаємно оберненими діями .
1.1. Означення
Функція , для якої виконується рівність , називається первісною (або невизначеним інтегралом ) відносно функції , і позначається символом . Оскільки де– довільна константа , то теж є первісною для функції
Функцію називають невизначеним інтегралом функції , тобто
. ( 8.15)
Отже, для кожної функції , для якої існує первісна , існує безліч первісних, що відрізняються одна від одної на деяку довільну константу . Саме звідси і походить поняття “ невизначений інтеграл “ . З геометричної точки зору невизначений інтеграл представляє собою сукупність кривих, зміщених одна відносно іншої паралельно самій собі вздовж осі
У формулі (8.15) зміну можна замінити будь якою іншою , наприклад , , , , і від цього , звичайно , рівність (8.15) не порушиться .
У найпростіших випадках первісну для заданої функції можна знайти безпосередньо, користуючись формулами для похідних, і перевірити результат безпосереднім диференціюванням . Так , наприклад ,
бо
.
Для знаходження первісних від складніших функцій далі вивчатимуться різноманітні способи інтегрування з урахуванням вигляду функції.
Природно виникає питання: чи для всякої функціїіснують первісні (невизначений інтеграл)? Виявляється, що не для всякої. Але, якщо функція неперервна на відрізку то для цієї функції існує первісна (а значить, і визначений інтеграл). Цей факт буде доведено в п.10.
Проте не слід думати, що для довільної функції повинна існувати первісна у вигляді елементарної функції. Існують функції , первісні для яких не можуть бути елементарними функціями . У такому випадку говорять , що інтеграл не виражається в замкненому вигляді. Так, наприклад, первісні для функцій
не є елементарними функціями, тобто не можуть бути виражені ніякими скінченими комбінаціями всіх елементарних функцій і скінченою кількістю елементарних операцій над ними .
Так, наприклад, та із первісних яка перетворюється в нуль при називається функцією Лапласа і позначається Ця функція добре вивчена і для неї складені таблиці її значень при різних значеннях
Та із первісних яка перетворюється в нуль при називається еліптичним інтегралом і позначається
Для цієї функції також складені таблиці значень при різних значеннях
1.2.Таблиця основних інтегралів
1. .
2. .
3. .
4. .
5.
6.
7. .
8.
9. .
10..
11..
12..
13..
14..
15.
16.
17.
18.
19. .
20. .
21. .
22. .
23.
Справедливість написаних в таблиці рівностей перевіряється диференціюванням (похідна від правої частини дорівнює підінтегральній функції).
Пряме виведення деяких формул може бути здійснене після розгляду методів інтегрування різноманітних функцій .
3.3. Найпростіші правила інтегрування
10. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
Ця рівність випливає безпосередньо із означення невизначеного інтеграла.
20. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу
Ця рівність отримується на основі властивості 20.
30.
Цю рівність легко перевірити диференціюванням.
40. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла
- константа .
50. Інтеграл алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів з окремих доданків :
60. Якщо то
- довільні константи.
Цей результат випливає з наступних міркувань. Нехай для функції первісною буде тобто .
Якщо ж , то
Тому або
.
Приклад.