1000х=1523.232323…
- 10х=15,232323…
990х=1508; х=1508/990=754/495.
Відповідь: а) 1,(23)=122/99; б)1,5(23)=754/495.
Тепер узагальнимо все вище сказане:
Множину Q раціональних чисел можна розглядати як множину чисел виду m/n, де m—ціле число,n—натуральне число, або як множину нескінченних періодичних десяткових дробів.
§2. Дві основні задачі, які приводять до розширення множини раціональних чисел.
2.1. Дві основні теореми для розширення множини раціональних чисел.
Вже неодноразово відмічалося, що не всі числа, з якими доводиться зустрічатися в реальному житті, є раціональними. Так, не є раціональним числом довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 1см і 2см: дійсно, довжина с і довжини катетів пов’язані теоремою Піфагора: с2=12+22, тобто с=см, а -- не раціональне число. Корені рівняння х2=7 також не раціональні числа—це числа і -. Щож це за числа, що не є раціональними?
Перш за все необхідно відмітити, що в математиці не заведено говорити “нераціональне число”, бо використовують поняття ірраціональне число. Терміни “раціональне число”, “ірраціональне число” походять від латинського слова ratio—“розум” (дослівний переклад:”раціональне число – розумне число”, “ірраціональне число—нерозумне число “; взагалі, так кажуть і в реальному житті: “він вчинив раціонально”—це означає, що він вчинив розумно; “так діяти нераціонально”—це означає, що так діяти нерозумно).
Ці висновки, які були зроблені інтуїтивно, з часом були науково підтверджені. Були виділені, як основні, дві задачі, які учнями вивчаються у вигляді теорем.
Теорема. Не існує такого раціонального дробу p/q (де p і q—натуральні числа), квадрат якого був би рівний 2.
Доведення. (методом від супротивного). Нехай існує такий дріб p/q, що (p/q)2=2. Будемо вважати, що дріб p/q нескоротний, тобто p і q немають спільних множників. Так як p2=2q2, то звідси видно, що р- парне число : р=2r (де r-ціле число ) і тому q-непарне. Підставляючи замість р його вираз, знайдемо q2=2r2. Звідси видно, що q-парне число. Отримане протиріччя і доводить теорему.
Теорема. Сторона квадрата несумірна з його діагоналлю.
Доведення. Справді. Нехай сторона квадрата дорівнює 1. Припустимо, що довжина діагоналі такого квадрата визначається раціональним числом виду p/q, де p і q- натуральні числа. Дріб p/q вважатимемо нескоротним. Тоді згідно теореми Піфагора одержимо (p/q)2=2 або р2=2q2. Тоді аналогічно попередньої теореми доводимо, що довжина діагоналі квадрата, сторона якого 1, не виражається раціональним числом.
У цьому випадку кажуть, що діагональ квадрата є несумірною з його стороною.
Числа, які задовольняють умови цих теорем називають ірраціональними.
Тепер ставиться задача розширити множину раціональних чисел, приєднавши до них числа нового роду—ірраціональні. Ця розширена область утворює множину дійсних чисел. Разом з тим покажемо, що в цій області залишаються справедливими всі властивості раціональних чисел, до яких відносяться арифметичні дії і порівняння чисел з допомогою знаків нерівності.
2.2. Ірраціональне число як нескінченний неперіодичний десятковий дріб.
Розглянемо ірраціональне число . Очевидно, що воно міститься між числами 2 і 3; а якщо точніше, то між числами 2,2 і 2,3; якщо ще більш точніше, то між числами 2,23 і 2,24. Можна продовжити уточнення оцінок числа і визначити межі для третього десяткового знаку після коми. Одержимо 2,2362=4,999696, що менше 5; 2,2372=5,004167, що більше 5. Отже, 2,236< <2.237.
Аналогічно можна з’ясувати межі для четвертого знаку після коми, для п’ятого знаку іт.д. Зрозуміло, що наближене значення виконується 2,236. Якщо ж вважати. Що для числа виписані всі наступні десяткові знаки, то: =2,236… Це—нескінченний десятковий дріб. Вище ми розглядали нескінченні десяткові дроби, але вони були періодичні і вони виражали раціональні числа. Тільки що ми з’ясували, що ірраціональним числом називають нескінченний неперіодичний дріб.
Розглянемо один цікавий приклад. Якщо довжину будь-якого кола поділити на його діаметр, то одержиться ірраціональне число 3,141592… Цей факт був встановлений в ІІІст.дон.е.грецьким математиком і філософом Архімедом. Для цього числа в математиці введене спеціальне позначення π.
Будь-яка арифметична операція над раціональними числами зводиться в результаті до раціонального числа. А про ірраціональні числа нічого такого впевнено сказати неможна. Наприклад: - ірраціональне число , а =5—раціональне число , а якщо=-- ірраціональне число , причому -ірраціональне число. Все це стосується і інших операцій.
Цікаво, а якщо в операції приймають участь одне раціональне і одне ірраціональне числа, яке з них “пересилить”? як з’ясувалося “пересилить” ірраціональне число. Розглянемо приклад: дано раціональне число 3 і ірраціональне ; складемо суму 3+. Нехай це є раціональне число р, тобто 3+=р. Тоді =р-3, а р-3 є раціональним числом. Отримали, що - раціональне число, а це не вірно. Одержали протиріччя, отже, зроблене нами припущення неправильне, тобто 3+ -ірраціональне число. Аналогічно можна показати, щоі різниця є число ірраціональне. Якщо ці числа додати, то (3+)+(3-)=6—раціональне число.
Висновок.
1. Будь-яка арифметична операція над раціональними числами в результаті приводить до раціональних чисел.
2. Арифметичні дії над ірраціональними числами в результаті може привести як до раціональних так і до ірраціональних чисел.
3. Якщо дія виконується над раціональним та ірраціональним числами, то одержимо—ірраціональне число .
§3. Множина дійсних чисел.
Якщо множину раціональних чисел доповнити множиною ірраціональних чисел, то разом вони складають множину дійсних чисел. Цю множину позначають літерою R; використовують також символічний запис (-;+).
Множину дійсних чисел можна описати таким чином: це множина скінченних і нескінченних дробів.
Кожне дійсне число можна зобразити точкою на координатній прямій, і навпаки, кожна точка координатної прямої має дійсну координату. Математично про це говорять так: між множиною дійсних чисел і множиною точок координатної прямої встановлено взаємно однозначну відповідність. Координатна пряма є геометрична модель множини дійсних чисел, тому координатну пряму часто називають числовою прямою.
Доцільно звернути увагу на те, що координатною прямою учні користувалися, починаючи з 5-го класу. Тепер очевидно, що в їх знаннях був недолік: не для будь-якої точки вони змогли б знайти координату.
Розглянемо приклад. Дана, координатна пряма, на її одиничному відрізку побудований квадрат, діагональ квадрата ОВ відкладена на координатній прямій від точки О вправо, одержали точку D (мал.1). Яка координата точки D? вона дорівнює довжині діагоналі квадрата, тобто . Це число нам відоме, і воно не ціле і не дріб. Отже, ні в 5-му класі, ні в 6-му, ні в 7-му, координату точки D учні не знайшли б.
Тому до сих пір і казали “координатна пряма”, а не “числова пряма”.
Відмітимо, що був ще один недолік в знаннях з алгебри. Розглядаючи вираз із змінними, завжди вважалось, що змінні можуть набувати будь-яких значень, але тільки раціональних, бо не було інших. На справді змінні можуть набувати будь-які дійсні значення. Наприклкад, в тотожності
(a+b)(a-b)=a2-b2
в ролі a і b можуть бути будь-які дійсні числа.
Для дійсних чисел a, b, c виконуються такі закони:
а+b=b+a;
аb=ba;
а+(b+c)=(a+b)+c;
а(bc)=(ab)c;
(a+b)c=ac+bc та інші.
Правила також виконуються:
Добуток (частка) двох додатних чисел-додатне число;
Добуток (частка) двох від’ємних чисел-додатне число;
Добуток (частка) додатнього і від’ємного чисел-від’ємне число.
Дійсні числа можна порівнювати одне з одним, використовуючи наступне означення.
Означення. Кажуть, що дійсне число а більше (менше) дійсного числа b, якщо їх різниця а-b-додатнє (від’ємне число). Пишуть a>b (a<b).
З цього означення видно, що будь-яке додатнє число а більше 0 ( оскільки різнця а-0=а-додатнє число), а будь-яке від’ємне число b менше 0 (оскільки різнця b-0=b- від’ємне число). Отже,
a>0 –означає, що а-додатнє число;
a<0 –означає, що а- від’ємне число;
a-b>0 –означає, що а-b додатнє число,тобто a>b;
a-b<0 – означає, що а-b від’ємне число,тобто a<b;
Поряд із знаками строгих нерівностей (<,>) використовуються знаки нестрогих нерівностей:
а≥0 означає, що а більше або рівне нулю.
а≤0 означає, що а менше або рівне нулю.
а≥b означає, що а більше або рівне b.
а≤b означає, що а менше або рівне b.
Наприклад, для будь-якого числа а справедлива нерівність а2≥0; для будь-яких чисел а і b справедливо: (а+b)≥0.
Взагалі для порівняння дійсних чисел необов’язково кожен раз складати різницю і з’ясовувати, додатна вона чи від’ємна. Можна зробити відповідний висновок порівнюючи записи чисел у вигляді десяткових дробів.
Геометрична модель множини дійсних чисел, тобто числова пряма, робить операцію порівняння чисел особливо наочною; з двох чисел а і b більше те, яке розміщене на числовій прямій правіше.
Приклад 1. Порівняйте числа:
а) і 4; б) 2+ і 5; в) –3,7 і ; г) - і -.
Розв'язування.
а) Маємо ; отже>4.
б) Маємо 2+= 2+2,236…=4,236…<5; тому 2+<5.
в) –3,7—від’ємне число, - додатнє. Будь-яке додатнє число більше за будь-яке від’ємне, тому –3,7<;
г) - -2,23; --2,64. Точка –2,64 розміщена на числовій прямій лівіше точки –2,36, тому ->-.
Приклад 2. Розмістити в порядку зростання числа:
, -, -2, , , .
Розв'язування.
Скористаємось тим, що . Тоді дані числа будуть розміщені таким чином: .
§4.Модуль дійсного числа.
4.1. Модуль дійсного числа і його властивості.