Аналогічно можна розглянути й інші дії над дійсними числами. Проте довго спинятися на них не варто. Обов’язково слід зауважити, що додаючи, віднімаючи, множачи чи ділячи будь-які дійсні числа (в останньому випадку крім 0), ми щоразу в результаті дістаємо знову дійсне число, причому для додавання і множення цих чисел справджуються 5 відомих законів дій.
Обов’язково треба сказати учням, що між множиною дійсних чисел і точками числової прямої існує взаємно-однозначна відповідність: кожному лійсному числу відповідає єдина точка числової прямої і навпаки, кожній точці числової прямої відповідає єдине дійсне число. Цим множина дійсних чисел істотно відрізняється від всіх інших відомих учням числових множин.
Зрозуміло, що такий виклад розглядуваної теми далекий від строгого. Але строга теорія дійсних чисел досить складна і не входить в програму загальноосвітньої школи.
Висновки.
Отже, в результаті дослідницької діяльності і опрацювання наукової та методичної літератури, ми показали методику викладання теми “Дійсне число” у 8 класі. Після такого викладу матеріалу хотілося б, щоб учні почерпнули для себе цікаву інформацію, засвоїли основні поняття, зрозумілі принципи їх використання.
Обов’язковий результат навчання:
1. В результаті вивчення теорії учні повинні:
а) мати уявлення про раціональні, ірраціональні, дійсні числа;
б) знати означення раціонального числа, як звичайного дробу і як нескінченного періодичного дробу;
в) розуміти числову пряму як геометричну модель множини дійсних чисел;
г) знати про модуль дійсного числа, його властивості і геометричний зміст;
д) вивчити функцію виду y=|x|, її властивості і графік;
е) запам’ятати тотожність .
2. Практично набути вміння:
а) використання нових символів в математичний мові: N,Z,Q,R;
б) навести приклади раціональних і ірраціональних чисел, порівняти дійсні числа за величиною і розміщувати їх в порядку зростання на числовій прямій;
в) знаходити модуль буль-якого дійсного числа і використувувати його геометричний зміст для розв'язування простих рівнянь з модулем.
г) використовувати в нескладних випадках формулу .
д) відшуковувати наближені значення дійсного числа із заданою точністю.
За одержаними результатами, можна говорити про майтерність вчителя; про його якості методиста.
Література.
1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Арифметика, алгебра, початки аналізу і геометрії.– К.: Вища школа, 1972.– 320 с.
2. Бевз Г.П. Методика викладання математики.– К.: Вища школа, 1989.– 366 с.
3. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.– К.: Рад. школа, 1963.– 69с.
4. Капіносов А.М. Алгебра 9 клас: заключне повторення. Тестова перевірка знань, умінь і навичок.– Дніпропетровськ: Дніпро, 1993.– 96 с.
5. Кованцов М.І. Математична хрестоматія: Алнебра і початки аналізу.– К.: Рад. школа, 1977.– 174 с.
6. Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа.– К.: Вища школа, 1974.– 50 с.
7. Макаричев Ю.М., Мигдюк Н.Г. та ін. Підручник: Алгебра 8 клас.– К.: Рад. школа, 1990.– 356 с.
8. Мордкович А.Г. Алгебра 8 клас: учебник.– М.: 1998.– 150с.
9. Мордкович А.Г. Методические рекомендации для учителя.– М.: 1998.– 72 с.
10. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя.– М.: Просвещение, 1987.– 86 с.
11. Фільчаков П.Ф. Довідник з елементарної математики для вступників до ВУЗів.– К.: Наукова думка, 1973.– 654 с.
12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач.– М.:Просвещение, 1989.– 352 с.
Додаток.
Як вже згадувалося, що на вивчення теми “дійсні числа” за програмою відведена дуже мала кількість годин. Тому доцільно було б для її закріплення провести факультативне заняття (присутність всіх учнів класу обов’язкова).
Факультативне заняття.
Тема: Дійсні числа.
Мета заняття: закріпити вивчений на уроці матеріал та виробити уміння і навички роботи з дійсними числами.
В структурі заняття виділимо 2 частини:
1). Коротке повторення теоретичного матеріалу;
2). розв'язування задач на дану тему.
Отже, згідно визначеного плану роботи повторимо вивчений матеріал.
Згадаємо, що якщо доповнити множину цілих чисел дробовими, то одержимо множину раціональних чисел. Яке число називається раціональним?
(учні). Раціональними називаються числа, які можна подати у вигляді дробу , де p і q – цілі. Цілі числа згідно цього означення можна розглядати як , де m – ціле.
Ми розглянули доповнення множини раціональних чисел ірраціональними. Які числа ірраціональні?
(учні) Ірраціональні числа – це числа які виражаються нескінченним неперіодичним дробом.
В результаті одержали множину дійсних чисел, яка заповнює так звану числову пряму. Нагадаємо, що звичайна пряма стає числовою, якщо на ній позначити 2 точки: 0 і 1. Тепер встановилася взаємно однозначна відповідність між точками прямої і дійсними числами.
Розглянемо основні типи задач, які пов’язані з теорією дійсного числа.
Одним із поширених типів задач є задачі на доведення ірраціональності даного числа.
№1. Довести ірраціональність числа .
Розв'язання. Припустимо протилежне: =r, де r – раціональне число. Тоді . Піднесемо до кубу: . Звідси, . Одержали, що рівне раціональному числу, а це протиріччя і доводить задачу.
Другий тип задач – це порівняння дійсних чисел.
№2. Порівняти, що більше .
Розв'язання.
Нехай . Піднесемо обидві частини до квадрата, віділяємо один корінь, знову підносимо до квадрату:.
Тут очевидно, що 67<12.7<12.
Звідси .
Тест.
1. Які з даних чисел: , є ірраціональні.
A. a,b,c. Б. a,d. В. c,b. Г.а.
2. Розмістіть числа , в порядку зростання.
А. a, b, c. Б. b, c, a. B. c, a, b. Г. a, c, b.
3. Яке із даних співвідношень є правильною числовою рівністю.
А..
Б..
В. .
Г. .
4. Спростіть вираз , якщо відомо, що .
А. . Б. .В. . Г. .
5. Чому рівні числа ;;.
А. , Б., В..
Код правильних відповідей: Б, Г, В, Б, А.
Учні підсумовують собі бали: 1 бал за кожне правильно розв’язане завдання.
Цей тест, в основному, виявить міру засвоєності ноаого матеріалу і допоможе вчителеві звернути увагу на ті питання, які викликають труднощі у учнів.
Тепер перейдемо до другої частини нашого заняття, тобто будемо розв'язувати різноманітні завдання.
№1. Даний періодичний дріб. Представити його у вигляді дробу виду : а) 0,(27), б) 0,(481).
Розв'язання.
а) число х=0,27. Тоді _100х=27,272727…
х=0,272727…
99х=27, . Звідси .
б) . Тоді одержимо:
_ 1000х=481,481481…
х=0,481481...
999х=481, то звідси .
№2 Доведіть ірраціональність числа .
Розв'язання.
Нехай =r – раціональне число. Піднесемо його до квадрата і перетворимо . Звідси, . Це означає, що рівний раціональному числу, що невірно, бо ірраціональне число. Отже ірраціональне число.
№3. Розв'язати рівняння: а) ; б).
Розв’язання.
А) Якщо Якщо
Відповідь: 1 або –5.
Б) Якщо ,якщо
Відповідь. 2 або –5.
№4 Спростити вираз , якщо відомо, що .
Розв’язання. , оскільки , то
,
.
№5. Спростити вираз , якщо
а) , б) , в) .
Розв’язання
а) Якщо , то . Тоді
.
б) якщо , то . Тоді
в) якщо , то. Тоді
.
№6 Побудувати графік функції .
Якщо
Якщо
Тобто, при побудуємо пряму , а при побудуємо пряму .
На цьому занятті ми розглянули основні типи задач на тему “Дійсні числа”. Навчилися доводити ірраціональність чисел, порівнювати дійсні числа, розв’язувати рівняння з модулями, користуючись його означення.
Заняття закінчено.