Символічно ці дії познаються так:
Теорема 2. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченно мала.
Наслідок 1.Алгебраїчна сума скінченої множини нескінченно малих є нескінченно мала.
Теорема 2.Добуток нескінченно малої числової послідовності на послідовність обмежену є нескінченно мала числова послідовність.
Наслідок 2. Добуток сталої величини на нескінченно малу числову послідовність є нескінченно мала числова послідовність.
Наслідок 3.Добуток скінченого числа нескінченно малих числових послідовностей є нескінченно мала числова послідовність.
5. Основні теореми про границі
Наведемо теореми, якими користуються для знаходження границі числових послідовностей.
Теорема 1. Алгебраїчна сума двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює відповідній сумі границь даних послідовностей.
Д о в е д е н н я. Нехай Тоді
де і - нескінченно малі послідовності.
Додавши почленно ці рівності, дістанемо:
Отже, вираз ми подали у вигляді суми сталого числа
і нескінченно малої Тому існує та
Зауваження . Теорема справедлива й для випадку всякого скінченого числа збіжних числових послідовностей.
Теорема 2. Добуток двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює добутку границь даних послідовностей.
Д о в е д е н н я. За умовою теореми
Тому де - нескінченно малі послідовності.
Тоді
Із властивостей нескінченно малих виводимо, що послідовність
- нескінченно мала.
Звідси
тобто
Теорему доведено.
Зауваження. Теорема справедлива й у випадку добутку всякого скінченого числа збіжних послідовностей.
Наслідок 1. Якщо послідовність має скінчену границю, то при всякому сталому маємо:
або сталий множник можна виносити за знак границі.
Наслідок 2. Якщо і - натуральне число,
то
Теорема 3. Якщо послідовності і збігаються, причому і то
послідовність збігаються і її границя дорівнює відношенню
границь послідовностей та
Д о в е д е н н я. За умовою теореми
де - нескінченно малі послідовності.
Оскільки то де - стале число.
Надалі обмежимося тими членами послідовності які задовольняють попередній нерівності. Тоді
.
Послідовність є обмежена, оскільки
Послідовність є нескінченно мала. Таким чином, є нескінченно мала.
Тому
Теорему доведено.
При вивчені основних теорем про границі ми вважали, що числові послідовності і мають скінченні границі, причому при доведенні теореми про границю частки вважали, що границя дільника не дорівнює нулю.
Розглянемо випадок, коли і є нескінченно великі числові послідовності, тобто
Легко бачити, що арифметична сума і добуток цих послідовностей є також нескінченно велика числова послідовність. Проте нічого конкретного в загальному випадку не можна сказати про частку від ділення та різницю цих послідовностей. Частка від ділення таких послідовностей залежно від закону зміни і може
поводити себе по-різному. Кожного разу відношення треба досліджувати. Тому говорять, що відношення якщо є невизначеність. І цю невизначеність символічно позначають так:
Приклади.
1. Знайти
Р о з в ’ я з о к. Розкрити невизначеність В цьому випадку поступають так: чисельник і знаменник ділять на (від цього дріб не змінюється ), а потім застосовують теореми про границі частки і суми. Наведемо повний запис обчислення границі:
2. Знайти
Р о з в ’ я з о к.
3. Знайти
Р о з в ’ я з о к.
Сказане про частку стосується й різниці двох нескінченно великих числових послідовностей. Якщо то різницю називають невизначеністю виду
Приклад. Знайти
Р о з в ’ я з о к. Тут маємо невизначеність виду Для її розкриття позбавляємося ірраціональності у чисельнику.
Матимемо
З аналогічним фактом ми зустрічаємось у випадку відношення двох нескінченно малих числових послідовностей. Якщо то частка від ділення може також поводити себе по – різному. Цю невизначеність називають невизначеністю виду Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.
6. Границя монотонної числової послідовності
Основні теореми про границі дають змогу встановлювати та знаходити числове значення границі заданої числової послідовності за допомогою границь інших числових послідовностей, певним чином пов’язаних з розглядуваною. Проте в деяких випадках як теоретичного, так і практичного характеру не завжди можна використати ці теореми. Тому доводиться застосовувати інші способи, зокрема ознаки збіжності числових послідовностей.
Теорема 1. Якщо послідовність
(5.10)
є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.
5. Порівняння нескінченно малих величин
Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої, відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або нескінченно великою, або величиною, яка має границі.
Кожне із цих чотирьох випадків має свою назву. Нехай і є нескінченно малі функції в точці .
Означення.1. Якщо
,
то і в точці називаються нескінченно малими однакового порядку малості.
Приклади.
1. Нехай . При і
і прямують до нуля. Знайдемо
Отже, функції і є нескінченно малі однакового порядку малості в точці .
2. Нехай
і .
Знайдемо
.
Отже, функції і на нескінченності однакового порядку малості.
3. Нехай ,
і .
Знайдемо
.
Отже, функції і при нескінченно малі однакового порядку малості.
Означення 2. Якщо
,
то називається нескінченно малою вищого порядку малості, ніж . При цьому - нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж .
Приклади.
1. Нехай . Тоді і в
точці є нескінченно малі функції. Знайдемо
Отже, в цьому випадку є нескінченно мала вищого порядку, ніж .
2. , , і - нескінченно малі при. Знайдемо
Отже, при є нескінченно мала вищого порядку, ніж .
Означення 3. Якщо
,
то називається нескінченно малою більш нижчого порядку малості, ніж .
Приклад.
Нехай , . При і - нескінченно малі. Знайдемо
Отже, при є нескінченно малою нижчого
порядку малості, ніж .
Означення 4. Якщо границі відношення і не існує (ні скінчена, ні нескінченна), то і називаються не порівнювальними нескінченно малими.
Означення 5. Якщо
,
то і в точці називаються еквівалентними, і записуються : ~ .
Приклади.
1. Нехай , . Тоді і в точці є нескінченно малі. Оскільки (доведення буде дано в наступній темі), то і є еквівалентні величини, тобто ~ .
2. Довести, що в точці :
| а) | б) | ||
| в) | г) | ||
| д) | е) | ||
| ж) | з) |