Пошукова робота на тему:
Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі величини.
План
· Числові послідовності.
· Границя, основні властивості.
· Границя монотонної послідовності і функції.
· Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості.
· Порівняння величин.
· Еквівалентні нескінченно малі величини.
Числові послідовності
1. Означення числової послідовності
Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них.
Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер
(5.1)
де числа - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.; - - й, або загальний член послідовності.
Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел (5.1) або у вигляді Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число Опишемо основні способи задання цього правила.
Спосіб 1.Правило може бути задане формулою, якою задається загальний член послідовності
Приклади.
1. Відповідна числова послідовність має вигляд
.
2. Дана послідовність має вигляд .
Спосіб 2.При заданні послідовності задають кілька її початкових членів і правило (майже завжди це формула) утворення -го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним.
Наприклад, нехай Так задано послідовність .
Спосіб 3.У деяких випадках може бути невідома формула загального члена послідовності, і також не задано рекурентне співвідношення, а послідовність задається словесно. Наприклад, нехай є десятковим наближенням квадратного кореня із з надбавкою з точністю до Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд:
Геометрично члени послідовності зображаються точками на числовій осі.
Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні, не зростаючі послідовності.
Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто для кожного
Приклад. У послідовності кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана послідовність є зростаюча.
Означення . Послідовність називається неспадною, якщо для кожного
Приклад.Якщо покласти (означає функцію рантьє), то дістанемо неспадну послідовність .
Означення .Послідовність називається спадною, якщо
для кожного
Приклад. Послідовність є спадна.
Означення . Послідовність називається незростаючою, якщо для кожного .
Приклад .Якщо взяти то дістанемо незростаючу послідовність.
Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.
Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число таке, що для всякого виконується нерівність .
Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує дійсне число таке, що для всіх виконується нерівність
Приклади .
1. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену зверху , оскільки
2. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену знизу, оскільки
Означення .Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у противному разі – необмеженою.
Приклади .
1. Нехай Послідовність
є обмежена
Послідовність не є обмежена .
Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених послідовностей .
Послідовність називається обмеженою, якщо для всіх
Покладемо Послідовність називається обмеженою, якщо
Послідовність називається необмеженою, якщо
Приклади .
1. Нехай Тоді Отже, послідовність є обмежена.
2. Розглянемо послідовність Тут Яке б число ми не взяли, знайдеться таке натуральне число, наприклад , коли Отже, задана послідовність не є обмежена .
Зауваження. Обмежена послідовність не є обов’язково монотонною, і навпаки, не всяка монотонна послідовність є обмежена. Так, послідовність є обмежена , але не є монотонна; послідовність є монотонна, але не є обмежена; послідовність є і необмежена, і немонотонна; послідовність є обмежена і монотонна.
2. Границя числової послідовності
Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну ілюстрацію цього поняття.
Означення . Стале число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа існує таке натуральне число що для всіх виконується нерівність
(5.2)
Той факт, що є границею послідовності символічно
записується так:
або при
Іншими словами, число називається границею послідовності якщо . (5.3)
Приклад.Довести, що Знайти номер такий, коли при
Р о з в ’ я з о к.Згідно з означенням границі треба показати, що
(5.4)
Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб
або .
Отже, існує число ,а саме коли при виконується нерівність(5.4). Тому Знайдемо залежно від конкретно заданого . Нехай тоді
Тому нерівність
справедлива для всіх
Розглянемо геометричну ілюстрацію того факту, коли є
границею числової послідовності . Візьмемо на числовій осі точку з абсцисою і відкладатимемо точки з абсцисами
Тоді нерівність (5.3) означає, що відстань між точкою при і точкою повинна бути меншою за . Отже, всі члени послідовності починаючи з повинні знаходитися в інтервалі Інтервал є - околом точки .
Якщо число є границею послідовності , то всі члени цієї послідовності, номери яких знаходяться у довільному - околі точки. Що стосується членів послідовності номери яких то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині - околу точки, так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним - околом точки може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності.
3. Властивості збіжних числових послідовностей
Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.
Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі, - розбіжною.
Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю.
Теорема 2.Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Зауваження .Оберненого твердження цієї теореми не існує.
Так, послідовність є обмежена, але вона не має границі.
Теорема 3.Якщо і то й члени послідовності починаючи з певного номера і для всіх наступних номерів, будуть більші за (менші за ).
Наслідок 1. Члени послідовності яка має границю, починаючи з певного номера, мають знак цієї границі.
Наслідок 2.Якщо дві послідовності і при кожному значенні задовольняють нерівності і то
Зауваження .Якщо члени послідовностей і що мають границі, задовольняють при всіх нерівності то
Теорема 4.Нехай члени послідовностей , , при всіх значеннях задовольняють нерівності і Тоді
4. Нескінченно малі та нескінченновеликі числові послідовності
Введемо поняття нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей і встановимо зв’язок між ними.
Означення.Числова послідовність називається нескінченно малою, якщо
(5.5)
що те саме при
Означення. Числова послідовність називається нескінченно великою, якщо
(5.6)
Цей вираз записують так:
Теорема 1.Якщо послідовність нескінченно мала і при всіх то послідовність - нескінченно велика. Якщо послідовність нескінченно велика і при всіх то послідовність - нескінченно мала.
Теорема 1.Для того щоб послідовність мала границю, яка б дорівнювала необхідно і достатньо, щоб існувала така нескінченно мала послідовність що
(5.7)
Зауваження.Розглянемо арифметичні операції над числовими послідовностями: додавання, віднімання, множення та ділення.
Нехай маємо дві послідовності :
(5.8)
та
(5.9)
Тоді додавання, віднімання та множення послідовностей (5.8), (5.9) виконуються додаванням, відніманням чи множенням відповідних членів цих послідовностей.
Якщо всі то частка від ділення послідовності (5.8) на послідовність (5.9) визначається як послідовність члени якої