Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.
Теорема 5. Якщо послідовність (хп) має границю а, то ця границя єдина.
Приклад 1. Знайти (За означенням п! = , читають «ен факторіал».)
Розв'язання. Використаємо теорему про границю суми. Для цього з'ясуємо, чи існують границі доданків.. Послідовності , є нескінченно малими , тобто Послідовність (sinn2) є обмеженою: | sinn2 | 1. Отже,
Границі доданків існують. Тому
5. Границя функції неперервного аргументу
Розглянемо функцію у = f(х), де аргумент змінюється неперервно (набуває всіх значень з певного проміжку , крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного проміжку).
Наведемо два приклади.
Приклад 1. Простежимо, як поводить себефункція f(х) = + 2, коли значення аргументу хяк завгодно близько наближається до числа 2. Символічно це позначають так: х-2. З малюнка 105 випливає, що коли х - 2 зліва або справа, то відповідні значення функції f(х) як завгодно близько наближаються до числа 4, тобто ці значення мало відрізнятимуться від числа 4.
У такому разі кажуть, що функція f(х) = + 2 має границею число 4, якщо х - 2, або в точці х0 = 2, Символічно це записують так: .
Число А називається границею функції у = f (х) у точці х0 , якщо для будь-якого числа > 0 існує таке числе > 0, що для всіх і таких, що , якщовиконується нерівність
Символічно це записують так:
Приклад. Довести, що
Розв'язання. Під знаком граниш є лінійна функція y=kx+b(k=2,b=1).Зпопереднього прикладу випливає, що лінійна функція у = kx + bу будь-якій точці х-aмає границю А. Границя дорівнює значенню цієї функції у точці х = а, тобто А = ka + b. Отже, у даному прикладі А = 2 • 1 + 1 = 0. Задача розв'язана.