Границя функції (стр. 1 из 2)

Коломийський коледж права і бізнесу

Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

“ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ”

Виконав

Кушмелюк Федір М.

Перевірив:

Чоботар О.В.

Коломия

2002

План

1. Границя числової послідовності.

2. Нескінченно малі числові послідовності.

3. Нескінченно великі числові послідовності.

4. Основні теореми про границі.

5. Границя функції неперервного аргументу.

1. Границя числової послідовності.

У курсі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функціональної залежності, коли областю визначення функції у = f(х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають y_n = f(n), п = 1, 2, ... .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y₁, ₂, ..., у_л,…, вякому y₁називають першим членом послідовності, y₂ — другим іт. д., y_n— n-м, або загальним членом послідовності. Числову послідовність вважають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (у_п) або (а_п), де у_п, а_п— n-ні члени послідовностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: у_п= y₁ + d(п - 1), у_п= у₁q^n-1, п = 1, 2, ..., де d— різниця арифметичної прогресії; q— знаменник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою у_п=, п = 1, 2, ... .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п спадають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |у_п — 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) знайдеться член y_Nтакий, що для всіх п > N буде справджуватися нерівність

(3)

де — довільне додатне число. Надаючи є довільних додатних значень, щоразу матимемо шукане число N.

Щоб знайти N для будь-якого наперед заданого додатного числа , підставимо в нерівність (3) значення у_п і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо:

(4)

Звідси п > . Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п, які задовольняють нерівність (4).

Тому за число N можна взяти число , якщо воно ціле, абонайбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таблиці.

Таблиця

N	2	3	4	5	10	31	100

Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у₁,y₂, y₃,…,у_п,..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N = N (), що для всіх п > N виконується нерівність

. (8)

Символічно це записують так:

Ми будемо користуватися першим позначенням (lim— від латинського слова «limes», що означає «границя»).

2. Нескінченно малі числові послідовності

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовностям.

Послідовність у_п = f(п), п — 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо у_п= 0.

Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.

Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо нерівність | у_п| < , п > N. Тому нескінченно малу числову послідовність можна означити ще й так.

Числова послідовність (у_п) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа існує натуральне число N таке, що для всіх п > N виконується нерівність | у_п| < .

Нескінченно малі послідовності позначають через (а_п), (β_п), (_n) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між послідовністю (у_п), яка має границю, і нескінченно малою послідовністю.

Теорема 1. Якщо у_п= a, то послідовність (а_n) = (y_n – a) є нескінченно малою.

Доведення. Яке б не було число > 0, знайдеться таке N, що для всіх п > N виконуватиметься нерівність | у_п — а | < , або , тобто — нескінченно мала послідовність.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо різниця між у_п і числом а є нескінченно малою послідовністю, то а є границею послідовності (у_п).

Доведення. Позначимо а_п= у_п — а. Тоді у_п — а є нескінченно малою послідовністю. Тобто для будь-якогочисла > 0 знайдеться таке N, що для всіх п > N виконується нерівність | а_п|< , або, що те саме, |у_п — а|< . Отже, згідно з означенням границі, y_n= а. Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означенняграниці послідовності.

Число а називається границею числової послідовності (у_п), якщо різниця між у_п і числом а є нескінченно малою послідовністю, тобто (у_п — а) = (_п), де () — нескінченно мала послідовність.

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числанескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Перш ніж сформулювати наступну властивість, наведемо таке означення.

Послідовність (у_п) називається обмеженою, якщо існує число М > 0, що для всіх значень п = 1,2, ... виконується нерівність

| у_п|< М.

Властивість 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

3. Нескінченно великі числові послідовності

Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.

Означення. Послідовність (у_п) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | у_п| > М. Це записують так:

у_ппри цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовності ((—1)^пп), (п²), (п) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((—1)^пп) є нескінченно велика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |у_п|=(—1)^пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зростають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М₁ = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, ... .

Отже, .

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послідовність (у_п), де

є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.

Теорема. Якщо (у_п)є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність () = є нескінченно малою.

Доведення. Оскільки (у_п) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М > 0, існує таке число N, що для всіх п > N виконується нерівність | у_п |> M. Нехай М = , де — довільне додатне число.

Тоді | у_п | > (n > N), або | а_n | < (n > N). Теорему доведено.

Обернена теорема. Якщо послідовність () є нескінченно мала числова послідовність і для всіх n= 1, 2, ..., то послідовність (у_п)==є нескінченно велика.

Доведення. Оскільки за умовою теореми () — нескінченно мала послідовність, то для будь-якого числа > 0, наприклад, для =,де М>0 — будь-яке дійсне число, існує натуральне число N = N(М) таке, що длявсіх значень п > N виконується нерівність || < .

Позначимо у_п= . Тоді

Теорема доведена.

4. Основні теореми про границі

Знаходження границі числової послідовності на основі "тільки означення границі викликає часто певні труднощі, оскільки: треба наперед знати «підозріле» на границю число; не кожного разу за заданим можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.

Теорема 1. Нехай послідовності (х_п) і (у_п) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (x_n+y_n) має границю а + b.

Теорема 2. Нехай послідовності (х_п) і (у_п) мають відповідно границі а, b. Тоді послідовність (х_п • у_п) має границю, яка дорівнює а • b, тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (х_п) і (у_п) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює