U=Ф(j)R(r). (3)
Підставляючи в ріність (1’), вийде:
r2Ф(j)R¢¢(r)+rФ(j)R¢(r)+Ф¢¢(j)R(r)=0
або
. (4)
Так як ліва частина цієї рівності не залежить відr, а права від j, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:
Ф¢¢(j)+k2Ф(j)=0, (5)
r2R¢¢(r)+rR¢(r)-k2R(r)=0 (5¢)
Загальне рішення рівності (5) буде
Ф=Аcoskj+Bsinkj. (6)
Рішення рівняння (5¢) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5¢), дістанемо:
r2m(m-1)rm-1-k2rm=0
або
m2-k2=0.
Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5¢) буде
R=Crk+Dr-k. (7)
Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):
Uk=(Akcoskj+Bksinkj)(Ckrk+Dkr-k). (8)
Функція (8) буде рішенням рівняння (1¢) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5¢) приймають вид:
Ф¢¢=0, rR(r)+R¢(r)=0,
отже,
U0=(A0+B0j)(C0+D0lnr). (8¢)
Рішення має бути періодичною функцією від j, так як при одному і тому ж значенні r при j і j+2p ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8¢) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8¢) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.
Таким чином, права частина (8¢) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,
. (8¢¢)
Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від j. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями
K=1, 2, …, n, …,
так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,
(9)
(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні Anі Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:
. (10)
Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f(j) розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-p,p), та щоб AnRnі BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, Anі Bnмали визначатись по формулам:
. (11)
Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і j. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:
. (12)
Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:
. (13)
Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:
. (14)
Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f(j) неперервна, то функція U(r,j), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1¢) і при r®R буде U(r,j)®f(j), тобто U(r,j) являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.