Тема:Основні задачі математичної фізики.
Лекція №1
План
1. Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.
2. Приклади постановок таких задач.
3. Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.
4. Рівняння коливань струни.
5. Розв’язок задачі Коші методом Даламбера
Питання для самоконтролю.
Лекція №1.
1. В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?
2. Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?
3. Приклади рівнянь еліптичного типу.
4. Як називається і до якого типу належить рівняння:
?
5. В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?
6. Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння.
Література:
1. А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.
2. Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.
3. П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981.
4. О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.
5. П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974.
Лекція №1.
Тема: Основні задачі математичної фізики.
В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших наукахприводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних.
Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.
Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:
де аij, bi, c – задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n ³2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| alk|| - lE)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:
d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0.
Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.
Це характеристичне рівняння можна записати й так
Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння j(х,у)=С1 і y(х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.
Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.
І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.
До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.
Найпростішим з них є хвильове рівняння , відкрите Ейлером у 1759році.
Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.
Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:
До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння DU=0 (Лапласа); DU=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: DU+kU=0, і полігармонійні рівняння.
В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:
рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:
рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:
Тема: Рівняння коливань струни.
В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності відчасу.
Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати , що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).
Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни ¾М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, ¾М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.
На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути j та j+Dj . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(j+Dj)-Tsinj. Так як кут j малий, то можна покласти tgj=sinj, і ми отримаємо :
(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).
Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай r - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде rDх. Прискорення елемента дорівнює . Отже, по принципу Даламбера будем мати:
Скорочуючи на Dх і позначаючи , получаємо рівняння руху . (1)
Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початковихумов називається краєвими умовами.
Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:
u(0,t)=0,
u(l,t)=0.
Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.
В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути
. (2)
Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією j(х).Таким чином, має бути
. (3)
Умови (2) і (3) являються початковими умовами.
Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.
Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.
Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:
Знайти рішення хвильового рівняння
Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),
Задовільняюче початковим умовам
U(x,0)=j(x); ut(x,0)=y(x)
де j(х) і y(x) – задані у функції.
Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння
A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0
Прийме вид -a2dt2+dx2=0,
або dx2-a2dt2=0.
Воно розпадається на два рівняння:
dx-adt=0 і dx+adt=0
інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2
введемо нові змінні
x=x-at, h=x+at.
Тоді
xх=1, xt=-a, hx=1, ht=a,
ux=uxxx+uhhx=ux+uh,
uxx=uxxxx+uxhhx+uhxxx+uhhhx=uxx+2uxh+uhh,
ut=uxxt+uhht=-aux+auh,
utt=-auxxxt-auxhht+auhxxt+auhhht=a2uxx-2a2uxh+a2uhh.
Підставивши uxx, uttв вихідне рівняння, отримаємо
a2uxx-2a2uxh+a2uhh-a2(uxx+2uxh+uhh)=0,
-4a2uxh=0,
uxh=0.
Отримане рівняння можна записати як:
.
Звідси випливає, що uh не залежить від x:
uh=f*(h),
де f*(h) – довільна функція h.