В точках розриву функцій f(x)сума ряду (1) дорівнює
16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то
,
де , (n=0,1, 2,…).
Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то
,
20
де і
6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):
а) ; б)
в) г)
д)
е)
ж)
7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то
, де а<c<b.
8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
де а=j(a), b=j(b).
10. Формула трапецій: ,
9
z=r(cosj+isinj), де r=êzú; j=Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент:
а) êz1+z2÷£êz1ú + êz2ú; б) êz1z2÷£êz1úêz2ú,
Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;
в) Arg =Arg z1-Arg z2; (z2¹0);
г) êzn÷ = êzún; Arg zn=n Arg z (n - ціле).
6. Корінь з комплексного числа:
, (k=0,1,2,…,n-1)
7. Показникова формула комплексного числа:
z = r eij, деz = êzú, j = Arg z.
8. Визначник другого порядку:
.
9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=Dх/D; у=Dу/D (правило Крамера), де
.
10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=D1t, y=-D2t, z=D3t; (-¥<t<¥),
де -
мінори матриці .
12
3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:
де dx=Dx, dy=Dy.
Якщо U = f(x, y, z), то .
4. Малий приріст диференційованої функції:
5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos a, cos b}дорівнює:
.
Аналогічно, якщо U = f(x, y, z)і{cos a, cos b, cos g} – одиничний вектор напряму l, то
6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:
f¢х(x, y, z)=0; f¢y(x, y, z)=0; f¢z(x, y, z)=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор
Звідси .
8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dyє повним диференціалом в області G, то
17
((x, y) є G).
(ознака повного диференціалу.).
VIII. Ряди.
1.Основне означення: .
2. Необхідна ознака збіжності ряду:
якщо ряд збігається, то .
3. Геометрична прогресія: , якщо êqú < 1.
4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).
5. Ознака Даламбера. Нехай для ряду (Un>0) існує
Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;
б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Unнепрямує до 0.
6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… - збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1х+а2х2+… визначається за формулою:, якщо остання має зміст.
18
.
19. Об’єм тіла обертання:
а) навколо осі Ох: (a<b)
б) навколо осі Оу: (c<d)
20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b]:
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.
1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і2=-1.
Модуль комплексного числа:
Рівність комплексних чисел:
z1=z2ÛRe z1=Re z2, Im z1=Im z2
2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:
3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2:
a)
б)
в) (z2¹0)
Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і, ú z ê2=z.
4. Тригонометрична форма комплексного числа:
11
V. Елементи векторної алгебри.
1. Сумою векторів , , є вектор .
2. Різницею векторів і є вектор , де
- - вектор, протилежний вектору .
3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.
4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).
Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l-скаляри)
5. Скалярним добутком векторів і є число
, де j=<(, ).
Вектори і ортогональні, якщо * = 0.
Якщо і , то .
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
де , , (j = <(a,b)),
причому а, b, с - права трійк.
Якщо і , то , де
i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.
Якщо , , , то
14
.
VI. Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуzє:
x=rx , y=ry , z=rz, деr= - радіус-вектор точки М.
2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az}визначаються формулами: ;
cos a=ax/a; cos b=ay/a; cos g=az/a,
(cos2a+cos2b+cos2g=1),
де cos a, cos b, cos g - напрямні косинуси вектора а.
3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):
.
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}¹0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N*(r-r0)=0,…(1)
де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0.
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 абоAx+By+Cz+D=0 (2)
де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0+st (3)
15
де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}¹0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (-¥<t<+¥).
В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
.
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=N*N¢, де N={A,B,C}, N¢={A¢,B¢,C¢}.
8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):
.
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:
.
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:
x2+y2=2pz.
VII. Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y):
,
або
Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z).
2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:
16
11. Визначник третього порядку:
де - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=Dх/D; у=Dу/D; z=Dz/D,
де
.
13. Розв’язок однорідної системи , якщо
знаходяться з підсистеми: .
13