Реферат на тему:
Аналітична геометрія на площині
Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння
y = k×x + b (2.3)
де k=tga ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).
Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.
y y y y
b
b
x 1350x x x
a
а б в г
Рис.2.3
Загальне рівняння прямої на площині має вигляд
Ax + By + C = 0 (2.2)
Якщо B¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).
Приклади. Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому прикладі k=tga= -1, отже a=1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y=2x+2 , отже, k=tga=2 (рис. 2.4,б).
y y
2x-y+2=0
y=1-x 2
1
a=1350
1 x -1 x
а б
Рис. 2.4
Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.
Пряма, яка проходить через дві задані точки (x1;y1) та (x2;y2):
, (2.3)
або, що те саме,
. (2.3¢)
Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої прямої y=ax+b :
y-y1=a(x-x1) (2.4)
Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :
(2.5)
Рівняння прямої у відрізках
(2.6)
Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.
Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y+2=0.
Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:
-2x+y=2,
.
Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:
y=2x+2.
Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x1;y1)=(-1;0) та (x2;y2)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:
.
Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.
Кут між прямими y=a1x+b1 та y=a2x+b2 обчислюється за формулою
Прямі y=a1x+b1 та y=a2x+b2 отже, є паралельними, якщо a1=a2, та перпендикулярними, якщо a1×a2 = -1.
Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь
.
Відстань від точки M(x1;y1) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою
.
Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p(Q)=500-10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p=p(Q)=50+5Q.
Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.
Маємо такий графік (рис.2.5).
p
500
Пропозиція
p*
Попит
50
Q*Q
Рис. 2.5.
Ціну рівноваги p* (а також рівноважний випуск Q*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь
.
Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p*=200 та Q*=30 .
Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, Vc=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять Fc=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.
Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю
Tc = Fc + Q×Vc = 40+5Q .
Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить
TR = p×Q =10Q .
Визначимо такий випуск Q*, за якого доход фірми збігається з її витратами:
TR = TC ,
10Q = 40+5Q ,
Q* = 8 .
Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q*>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).
Tc,TR
TR(доход)=10Q
Tc(витрати)=40+5Q
40
Q*=8 Q
Рис. 2.6.
Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x2 і/або y2.
Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд
(x-a)2+(y-b)2=r2 .
У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:
x2+y2=r2 .
Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):
A(x;y)
c
F1F2
Рис. 2.7.
Точки F1(-c;0) та F2(c;0) називаються при цьому фокусами.
Виконуються такі властивості:
- для довільної точки A на еліпсі ;
- c2=a2-b2.
Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F1 та F2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):
Для гіперболи виконуються такі властивості:
- для довільної точки A на гіперболі ;
- c2=a2+b2.
y
A(x;y)
x
F1(-c;0) F2(c;0)
Рис. 2.8.
Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):
y = 2px
BA(x;y)
p/2 p/2
F
Рис. 2.9.
Тут для довільної точки A(x;y) параболи y = 2px виконується рівність , де ‑ відстань від точки A до прямої .