. (5)
Якщо в функцію (4) підставити значення функції j (x, t) з формули (2) і результат про диференціювати по t, то знайдемо
. (6)
Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо
.
Розв’язуючи це рівняння відносимо Rп (х), дістанемо формулу (3).
Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rп (х) – залишковим членом у формулі Лагранжа. Величина Rп (х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію f(х) її многочленом Тейлора (2).
При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rп (х) при х ® х0 і фіксованому п, а також при п ® ∞ .
Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:
(7)
де точка с знаходиться між 0 і х (с = q х, 0 < q < 1).
Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х – х0 = Dх, х = х0 + Dх:
(8)
Оскільки f(х0 + Dх) – f(х0 )= Dу, f (п)(х0) Dхп = dпу, то формулу (8) можна записати у вигляді
. (9)
Покажемо, що коли функція f (п+1)(х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rп (х) при х ® х0є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х – х0)п:
,
тому, що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.
Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини (це відомі формули для наближених обчислень за допомогою першого диференціала); з точністю до величини ½Dх½3
;
з точністю до величини Dх4
.
Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rп (х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене значення функції f(х).
Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції f(х) у вигляді многочлен даного степеня поблизу точки х0. це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня які збігаються з функцією при х = х0, лише для многочлен Тейлора, величина виявляється найменшою.
Рис. 1
Із формули (3) видно, що залишковий член Rп (х) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок п многочлена Тейлора, тому, що факторіал при збільшенні п росте швидше степеня.
Приклади
1. Написати формулу Маклорена для функції f(х)= sin x і оцінити залишковий член. Побудувати функцію і чотири перших многочлени Тейлора.
◘ Оскільки
,
то
.
Підставивши значення похідних у формулу (7), дістанемо для функції f(х)= sin x формулу Маклорена
,
де с лежить між 0 і х .
Оскільки , то для залишкового члена справедлива оцінка
.
Нехай, наприклад, . Покладемо k = 4, тоді
.
Це означає, що наближена формула
дає змогу обчислювати значення sin x при х Î з точністю до п’яти знаків.
Неважко (за допомогою калькулятора) переконатись, що ця сама формула, але на проміжку наближає функцію sin x з точністю до 0,01. На рис. 2 показано, як із збільшенням степеня п розширюється „сфера дії” перших трьох многочленів Тейлора:
і т. д.
Рис.2
Оскільки функція f(х)= sin x і її многочлени Тейлора є функції непарні, то на рис. 2 зображена лише „половина” графіків.
2. знайти формулу Маклорена для функції f(х)=ln (1 + х).
◘ Знаходимо значення даної функції і її похідних при х = 0:
Підставляючи значення похідних у формулу Маклорена, маємо
.
3. Розкласти за формулою Маклорена функції:
а) б) в) , a Î R.
◘ Аналогічно до попереднього розв’язання маємо:
4. Знайти многочлен Тейлора для функції , який зображав би цю функцію на відрізку [-1; 1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е.
◘ З попереднього прикладу маємо
підберемо таке п, при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | х | £ 1, число с лежить між 0 і х та ес< е|х|< е:
Отже, п = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула
.
Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е:
.
5. Знайти многочлен Тейлора Р3 (х – 1) третього степеня відносно двочлена х – 1 для функції .
◘ Маємо
Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і п = 3, дістанемо
,
де с лежить між 1 і х, тому
.
Формулу (1) можна записати у вигляді
. (10)
Коли функція f(х) є многочленом Рп (х) степеня п, то похідна , тому формула (10) матиме вигляд
. (11)
Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.
Приклади
1. Розкласти многочлен Р3(х) = 1 – 2х + 3х2 – 4х3 за степенями бінома х + 1.
◘ Скориставшись формулою (11) при х0 = –1, маємо
тому
.
2. Розкласти многочлен Рп(х) = (b + x)n за степенями х.
◘ Маємо Рп(0) = bn, , тому, поклавши у формулі (11) Рп(х) = (b + x)n , х0 = 0, дістанемо відому формулу бінома Ньютона:
(12)