.
Отже, є точкою максимуму, а - точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .
Достатня умова екстремуму функції двох змінних.
Теорема. Нехай в околі критичної точки функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз
.
Тоді
1) якщо , то в точці функція має екстремум; максимум, якщо , і мінімум, якщо ,
2) якщо , то в точці функція екстремуму не має.
У випадку , коли , екстремум в точці може бути, може і не бути.
Приклад. Знайти екстремум функції .
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо критичні точки функції :
Функція має дві критичні точки: .
Знаходимо частинні похідні другого порядку:
Дослідимо характер першої критичної точки :
.
Отже, в точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.
Дослідимо характер другої точки :
Оскільки , то в точці функція має мінімум: .
6.15.3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції
1. Нехай на відрізку задана неперервна функція , яка за теоремою Вейерштрасса на даному відрізку сягає свого найбільшого і свого найменшого значення. Проте теорема Вейерштрасса не дає способу знаходження тих точок відрізка , в яких функція дорівнює своєму найбільшому (найменшому) значенню. Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.
Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .
Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .
Р о з в ’я з о к. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння
,
дістаємо стаціонарні точки .
Точок, в яких похідна не існує, немає.
Обчислимо значення функції в точках (ці точки належать відрізку ), а також на кінцях відрізка, тобто в точках . Маємо
Отже, найбільше значення становить , найменше -
Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції замкненій області , потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області: найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим значенням функції в даній області.
Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику (рис. 6.14), обмеженому прямими .
Р о з в ’ я з о к.
Знайдемо критичні точки функції:
;
;
Оскільки в даній області , то
У критичній точці функція приймає значення
.
Рис.6.12
Дослідимо поведінку функції на границях області.
На прямих і . На прямій ця функція є функцією однієї змінної , оскільки ;
.
Знайдемо найбільше і найменше значення функції на відрізку :
Критична точка . В цій точці . На кінцях відрізка . Отже, функція досягає найбільшого значення в точці , а найменшого – в точці . Найбільше значення , найменше значення .
Зауваження. До знаходження відповідно найбільшого чи найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.