Напрямки шляхів графу визначаються таким чином: у дереві графу напрямок обирається від вузла балансу до віток, а вітки хорди по напрямку обходу контуру у якому вони знаходяться.
Нумерують вітки таким чином: вітки дерева нумерують по кінцевих вузлах, усі інші вітки нумеруються довільно (повне зображення графа із нумерацією, напрямками віток та розбиттям на дерево і хорди вказано на рис. 4).
Для направленого графа можуть бути визначені:
1. Матриця з¢єднання віток в вузлах (перша матриця інциденції)
2. Матриця з¢єднання віток в незалежні контури (друга матриця інциденції), які служать для узагальненого аналітичного представлення графа. Перша матриця інциденції прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу вершин графа «n», а число стовпців — числу ребер «m». Вона позначається наступним чином:
MS= ( mij) i= 1....nj = 1....m
Елементи матриці MS можуть приймати одне з трьох значень :
mij = +1 , якщо вузол і є початковою вершиною вітки j;
mij = -1 , якщо вузол і є кінцевою вершиною вітки j;
mij = 0 , якщо вузол і не є вершиною вітки j;
Друга матриця інцеденції – це прямокутна матриця , число рядків якої дорівнює числу незалежних контурів графа, «k» , а число стовпців – числу віток «m». Вона позначається наступним чином:
N ( nij),i = 1....k , j = 1....m .
Елементи матриці N можуть приймати одне з трьох значень :
nij = + 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки співпадають;
nij = - 1, якщо вітка «j» входить в контур «і» і їх напрямки не співпадають;
nij = 0 , якщо вітка «j» не входить в контур «і».
Запишемо першу та другу матрицю інциденції для даного графа.
Перша матриця інцеденції:
Перша матриця інцеденції для вузла балансу
Перша матриця інцеденції включаючи вузол балансу
Друга матриця інцеденції:
Запишемо вхідні данні для нашої задачі:
Комплексна одиниця
При визначенні визначального струму ставимо знак «-», якщо у вузлі «і» споживач електричної енергії і знак «+», якщо у вузлі знаходиться джерело електричної енергії.
Стовбцева матриця потужності споживачів ВА
Напруга мережі В
Комплекні опори віток мережі:
Ом
Визначальна матриця струмів
А
Матриця провідностей віток
Ом
Матриця коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:
Розв`язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь проводимо за допомогою метода Гауса.
Розв’язання системи «n» лінійних алгебраїчних рівнянь виду: А * Х = В за алгоритмом Гауса складається із двох етапів. На першому етапі вихідна система за «n» однотипних кроків перетворюється таким чином, що матриця коефіцієнтів перетвореної системи стає верхньою трикутною. На другому етапі послідовновизначаються значення невідомих від Хnдо Х1.
Послідовність операцій, які виконуються при прямому ході наступна:
На першому кроці у вихідній системі рівнянь
а11´ х1 + а12´ х2 + ... + а1n´ хn = в1
а21´ х1 + а22´ х2 + ... + а2n´ хn = в2
.........................................................
аn1´ х1 + аn2´ х2 + ... + аmn´ хn = вn
перше рівняння ділиться на а11. Далі х1 виключається із всіх послідовно рівнянь (і=2...n) шляхом множення першого рівняння кожний раз на аі1 і вирахування із і-го рівняння. В результаті цих операцій отримується система рівнянь із матрицею коефіцієнтів :
.................................................
, де
Виконання операцій першого кроку потребують, щоб а11 не дорівнював нулю.
Другий крок полягає у виключенні х2 із рівнянь 3...n, які отримали в першому кроці системи шляхом аналогічних операцій при використанні в якості ведучого елемента аnn (1).
В результаті система приводиться до вигляду А(2) * Х = В(2)
Третій і наступні етапи виконуються аналогічно. Формули для розрахунку коефіцієнтів системи рівнянь на довільному кроці записуються так:
На останньому кроці (k = n) визначають .
В результаті перетворень матриці коефіцієнтів А вихідна система рівнянь перетвориться у верхню трикутну:
..................................................................................................
Матриця контурних опорів:
Ом
Для знаходження контурних струмів запишемо розширену матрицю коефіцієнтів розподілу визначальних струмів для дерева графа:
Також запишемо частину контурного рівняння у вигляді константи:
Запишемо матрицю контурних струмів:
А
Згідно визначення хорд графа запишемо .
А мадрицю струмів у вітках дерева графа:
А.
Тоді матриця струмів у вітках графа:
А.
І спади напруг віток схеми такі:
В
Запишемо матрицю вузлових напруг мережі:
В
В
Напруга джерела буде такою:
В.
Перший закон Кірхгофа:
»0
»0
Другий закон Кірхгофа:
»0
»0
Тут проводяться розрахунки по визначенню потоків потужності у вітках схеми, а також сумарних втрат активної та реактивної потужностей.
Визначення матриці повної потужності у вітках схеми проводиться у відповідності з виразом:
де – матриця повної потужності у вітках схеми, розміру (n ´ m); m – кількість віток схеми;
Знак «S« позначає складання повних матриць, що включають у себе також вузол балансу;
Знак «Д» – позначає діагональну матрицю;
UYSД - діагональна матриця лінійних напруг вузлів, що включає вузол балансу
В
MS - перша матриця інциденцій, що включає і вузол балансу;
- діагональна матриця спряжених значень струмів у вітках схеми:
А.
Тоді визначимо матрицю повної потужності у вітках схеми:
ВА
Для того, щоб отримати потужність центру живлення треба додати всі елементи останнього рядка матриці SB.
ВА
Втрати потужності у вітках визначаються як сума значень по стовпцях матриці .
ВА
Отримані результати розрахунків необхідно перевірити у відповідності із співвідношенням:
ВА
ВА
де - загальна потужність центру живлення, МВА;
- загальна потужність електричних навантажень електричної системи.
Баланс потужностей при виконанні першого кола розрахунків не співпадає на відносно велику величину похибки . Це пов’язано з тим, що початкове визначення величини визначальних струмів Ji базувалось на використанні в формулі номінальної напруги мережі UH. Вказане значення напруги UH значно відрізняється від дійсного значення напруги у вузлах. Тому необхідно зробити повторне коло розрахунків і скористатись замість UH знайденими значеннями напруги вузлів.
Запишемо струми у вітках враховуючи попередні розрахунки:
А
Також запишемо частину контурного рівняння у вигляді константи:
Запишемо матрицю контурних струмів:
А
Згідно визначення хорд графа запишемо .
А мадрицю струмів у вітках дерева графа:
А.
Тоді матриця струмів у вітках графа:
А.
І спади напруг віток схеми такі:
В
Запишемо матрицю вузлових напруг мережі:
В
В
Перевірка отриманих результатів за законами Кірхгофа:
Перший закон Кірхгофа:
»0
»0
Другий закон Кірхгофа:
»0
»0
Діагональна матриця вузлових напруг:
Діагональна матриця струмів у вітках (комплексно спряжених):
Матриця повної потужності у вітках схеми:
Для того, щоб отримати потужність центру живлення треба додати всі елементи останнього рядка матриці SB.
Втрати потужності у вітках визначаються як сума значень по стовпцях матриці .
Отримані результати розрахунків необхідно перевірити у відповідності із співвідношенням:
Потоки потужностей у вітках:
Електричні системи об’єднують велике число різноманітних технічних установок, як генеруючи, так і тих, які передають енергію; особливо велике число установок, які перетворюють енергію. Звісно, що умови роботи великої кількості навіть однорідних технічних установок різко відрізняються один від одного і носять з точки зору енергетичної системи як цілого випадковий характер. Так, наприклад, та чи інша установка споживачів випадково може бути або увімкнене на, або вимкнена від електричної мережі, працювати з тією чи іншою ступінню використання. В результаті накладання одне на одного таких випадкових подій отримується та чи інша величина попиту електричної потужності в енергосистемі, яка залежить від кількості випадкових подій. Аварійні пошкодження окремих елементів електричної мережі, або зниження даної потужності також являються випадковими подіями, які виникають в результаті накладання великого числа несприятливих умов.