1. Тема , мета та цілі курсової роботи . . . . . . . . . .3
2. Завдання на курсову роботу . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6
а) середовище Турбо С
б)середовище Турбо Паскаль
4. Ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-11
5. Аналіз ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6. Текст програми на Турбо Паскалі та результат
обчислень даного ряду у цьому середовиші . . . 13-16
7. Текст програми на Турбо С та результат обчислень
даного ряду у цьому середовиші . . . . . . . . . . . . .17-19
8. Висновок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9. Список використаної літератури . . . . . . . . . . . .21
“Обчисленняфункцій за допомогою степеневих рядів”
Закріпити і розширити знання одержані, при вивченні дисцинліни
“Проблемно-орієнтовані мови програмування”.
Цілі роботи
Розвинути навики і вміння ефективно застосовувати ЕОМ для розв’язування прикладних задач.
Завдання:
Із використанням ЕОМ обчислити з точністю Е=0.00001 значення функції представленої степеневим рядом у 20 точках, що найбільш повно охоплюють область визначення функцій.
Знайти абсолютну та відносну похибку обчислень у цих точках.
Вступ.
Середовище Турбо С .
Мова С посідає осбливе місце серед мов програмування в комп’ютерній індустрії. С є структурованою мовою програмування. С бере свій початок від двох мов, BCPLiB. В 1967 році Мартін Річардс розробив BCPL, як мову для написання системного забезпечення і комп’ютерів. В 1970 році Кен Томпсон використовував мову С для розробки ранніх версій UNIX на комп’ютері DECPDP-7. Як в BCPL, так і в В змінні не розділялись на два типи – кожне значення даних займає одне слово в пам’яті комп’ютера і відповідність, наприклад, цілих і дійснісних чисел цілком падала на відповідальність програміста.
Мова С була розроблена ( на основі В ) Денісом Річчі з корпорації BellLаboratoriesв перше мова була реалізована в 1972 році на комп’ютері DECPDP – 11. Популярність С одержало в якості мови операційної системи UNIX . Сьогодні практично всі основні операційні системи написані на С або С++ . Після двох десятиліть С є практично на більшості комп’ютерів. Мова С не залежить від апаратної частини, і програми, написані на на ньому, можуть бути перенесені на інші системи. С має в собі основні принципи BCPLiB, крім того , в ньому , введена типізація змінних і деякі інші важливі моменти . В кінці 70 – х років С перетворився в те , що ми називаємо традиційний С . Застосування С для різних типів комп’ютерів , призвело до появи різних версій мови , котрі , не дивлячись на свою схожість переважно були не сумісні . Це стало справжньою проблемою для розробників програмних продуктів котрі хотіли розробити коди , які можуть працювати на декількох типах комп’ютерів . Ставало зрозуміло , що потрібна стандартна версія С . В 1989 році вийшов стандарт мови С.
Середовище Турбо Паскаль .
Система програмування Турбо Паскаль , розроблена американською корпорацією Borland , залишається однією з самих популярних середовищ програмування в світі . Цьому сприяє , з однієї сторони простота , яка закладена в мову Паскаль , а
з другої – робота і талант співробітників Borland на чолі з розробником Турбо Паскаля Андерсом Хейлсбергом , який приклав не мало зусиль для модернізації цієї мови .
Придумана щвейцарським вченим Ніколасом Віртом , як засіб для навчання студентів програмуванню , мова Паскаль здобутками А.Хейлсберга перетворилася на сучасну професійну мову програмування , котрій під силу будь-які задачі – від створення самих простих програм , призначених для рішення нескладних задач , до розробки найскладніших систем управління базами даних .
Система програмування Турбо Паскаль представляє собою двох в відомій степені самостійних початків : компілятора з мови програмування Паскаль ( мова названа на честь видатного французького математика Блеза Паскаля , і деякого інструментального середовища , яка представляє собою можливість ефективної розробки програм .
Середовище Турбо Паскаль – це перше з чим стикається програміст приступаючи до практичного програмування .
Ряди.
Пара послідовності {un} i {sn} називається рядом,або незкінченою сумою,і позначається
u1+u2…+u3+…
Елементи послідовності називаються членами ряду.Також існує кінцева границя
lim sn=s,
він називається сумою ряду,в цьому випадку ряд називається збігаючим.Якщо послідовність часткових сум {sn} не прямує до кінцевої границі,то ряд називаеться розбіжним.З цих формул бачимо,що кожна з послідовностей {un} i {sn} однозначно визначає одна одну.
Таким чином,щоб задати ряд,достатньо задати одну із послідовностей.В цьому значенні вивчення рядів рівносильно вивченню послідовностей.Часто нумерацію членів ряду проводять не натуральними числами,а цілими,почиеаючи з нуля.
1.1 Властивості збігаючих рядів.
Якщо ряд сходиться,то послідовність його членів наближається до нуля.
Критерій Коші.
Для того,щоб ряд Sun,де n від 1 до безмежності,збігався потрібно і достатньо,щоб для будь-якого е>0 існує таке no,що для всіх n>no має мати місце | un+un+1+…+un+p|<e.
Це твердження зразу слідує з критерію Коші існування кінцевої границі послідовності,застосованої до послідовних часткових сум даного ряду.
Признаки збіжності ряду.
Якщо члени ряду невід’ємні,то він сходиться тоді і тільки тоді,коли його часткові суми обмежені зверху.Тобто,якщо члени ряду невід’ємні,то послідовність часткових сум даного ряду зростає,а зростаюча послідовність має кінцеву границю тоді і тільки тоді,коли вона обмежена зверху.
Знакопочергові ряди.
Якщо послідовність {un} зменшується і наближається до нуля limun=0,то при
будь-якому n=1,2,3,… виконується рівність | sn-s |<= un+1 .
Ряди такого виду називаються знакочергувальними рядами. Часткові суми з парними номерами зростають.Оскільки послідовність {s2n} зростає і обмежена зверху,то вона меє кінцевий вигляд s= lims2n,де n прямує до нуля.
Абсолютно збіжні ряди.
Ряд Sun,, де n прямує до нуля – називається абсолютно збіжним,якщо ряд, членами якого є абсолютні величини членів даного ряду S|un,|, де nзнаходиться в межах від 1 до безмежності,сходиться .
Для того щоб ряд абсолютно сходився,необхідно і достатньо,щоб для будь-якого е>0 існувало таке no ,що для всіх номерів виконувалась нерівність S|un+k| <e , де к від 1 до р ,а р знаходиться в межах від 1 до безмежності.Звідси випливає,якщо ряд абсолютно збіжний,то він є також просто збіжним.В загальному в силу властивостей критерія Коші є те,що абсолютна збіжність ряду,для будь-якого е>0 існує таке no ,що для всіх n> no і всіх p>=0 права частина нерівності менша е. Звідси випливає , що і ліва частина є також меншою від е.
Тобто для ряду виконується критерій Коші збіжності рядів тому ряд збігається.
Якщо ряд абсолютно збігається,то будь-який ряд співставлений з тих же членів,що і даний ряд,але взятий в другому порядку ,буде також абсолютно збіжний.
Умовно збіжні ряди .
Збіжний , про те не абсолютно збіжний ряд називається умовно збіжним рядом.Якщо одна із множин {un+} i {un-} ,буде кінцевою , то, відкинувши в ряді відповідне кінцеве число перших членів ряду , одержимо залишок ряду , члени котрого будуть не від’ємні або не додатні , а в другому випадку не від’ємні після множення всіх членів на –1.І в цьому і в другому випадку , якщо вихідний ряд збіжний , то він очевидним чином абсолютно збігається .
Якщо ряд умовно збігається , то два ряди розбігаються .
ТЕОРЕМА Рімана .
Якщо ряд з дійсними членами умовно збігається , то , яке б не було дійсне число S, можна так переставити члени ряду , що сума одержаного ряду буде рівна S .
Нехай є члени ряду – дійсні числа і нехай довільно взяте число S .Дано ще один ряд .Наберемо декілька членів , щоб їхня сума перевищувала S , тобто позначимо через n1 найменше натуральне число , при якому виконується умова un+……+un1 >S . Тоді при n1 >1 ,буде мати місце нерівність un+……+un1-1 <=S .
Можливість вибору токого числа виходить із розбіжності ряду.Наберемо тепер з одного з рядів підряд декілька членів , щоб , порахувавши їхню суму , одержати менше S.
Теорема Рімана показує, що однією з основних властивостей кінцевих сум чисел – незалежність їх суми , від порядку доданків – не переноситься на збіжні ряди , на нескінченні суми .Також для умовно збіжних рядів існують теореми Абеля і Діріхле.
Признак Абеля.
Якщо послідовність {an} обмежена і монотонна , а ряд Sbn , де n лежить в межах від 1 до безмежності , сходиться , то і ряд Sanbn ,буде також збіжним.З обмеженості і монотонності послідовності {an} випливає існування кінцевої границі liman= a+ an.Тут послідовність {an} – монотонна і наближається до нуля .
Сумування рядів методом середніх арифметичних.
Якщо заданий числовий ряд розбіжний , то інколи виявляється корисним визначити суму ряду не простим способом – як границю його часткових сум , а якимось іншим .
Одним з таких способів , називається сумування рядів методом середніх арифметичних . Для ряду Sun , де n лежить в межах від 1 до безмежності , зробивши з його часткових сум їх середнє арифметичне , при цьому , якщо існує кінцева границя limQn= Q ,
то заданий ряд називається сумуючим методом середніх арифметичних . Поняття сумування ряду методом середніх арифметичних є узагальненим поняттям збіжності ряду , сумування методом середніх арифметичних дає зрозуміти , що всякий збіжний ряд , який ми сумуємо методом середніх арифметичних йде до своєї суми .