Лінійне рівняння -, . і—.йй а^+а,х,+ ... +а^==6 ^: °0'
називається однорідним, якщо його вільний член Ь дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною лінійною системою або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її рівняння однорідні, тобто якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.
Застосуємо одержані вище результати до однорідної лінійної системи. Нехай дано довільну систему лінійних однорідних рівнянь
йц^і + аі2^2 + • • • + ащХп =0, 021-^1 + 022^2 4- •-• • +а2пХп = 0, ^
Ог.Л^ -т- ОтіХг — • • • + СІтпХп =-- 0. ,
Ця система сумісна, оскільки вона має нульовий розв'язок (О, О, ,.., 0).-Це узгоджується й з доведеною вище теоремою 1. Справді, оскільки всі вільні члени системи (6) дорівнюють нулю, то вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0=о (&^0). ' - '
Якщо система (6) перетворюється на ступінчасту ,-истему,. в якій число рівнянь /• дорівнює числу невідомих п, то за теоремою2, вона має єдиний розв'язок — нульовий. Якщо ж система (6) перетворюється на ступінчасту систему, в якій число рівнянь ,'• у.енше, ніж число невідомих п, то множина її розв'язків нескінченна, і, отже, вона має ненульові розв'язки, тобто розв'язки, в яких деякі (а можливо й усі) компоненти відмінні від нуля.
Множина ненульових розв'язків буде нескінченною.
Теорема 3. Система лінійних однорідних рівнянь, в якій число , рівнянь менше, ніж число невідомих, має ненульові розв'язки. •
За наслідком 2, така система невизначена, тобто має нескінченну множину розв'язків, серед яких є і розв'язки, відмінні від нульового.
Приклади. 1. Розв'язати систему
х,+ х^+2х^-=- 1,
2жі+4А-2+5.їд=—8, ——
«Ї+ЗX2-^5А:3=—7. ЗА-і4-7-«-2+9^3=—15-
Р о з в'я за н н я. Зведемо розширену матрицю цієї системи /І 1 2-1 \ | 2 4 5 —8 | | 1 3 5 —7 | \3 7 9 —15/
до ступінчастого вигляду. Перший рядок, помножений відповідно на 2, 1, 3, віднімемо від другого, третього і четвертого рядків, дістанемо
/І 1 2 1\ 1021—61 І 0 2 3—6 1
\0 4 3 —12/
Другий рядок, помножений відповідно на 1, 2, віднімемо від третього і четвертого рядків, матимемо
/112-^
-•--—•—•------— [02 1 —6| -...-_^і1_ : ,
'; 'ґ " - :•'/<:; '"^ "1002 0 |"• \- • .•^-.-і-.- . -.-
\0 0 1 О/
Третій рядок, помножений на 1/,, віднімемо від четвертого рядка, дістанемо
/1;1 2-1\ ; , 1 0 2 1 —6 1
і 0 0 2 01 .
д—»-— \о о о- • о/ • . .
/ Звідси випливає, що задана система ;;ікіі1них різн-таь перетворюється (після ц вилучення рівняння вигляду 0 == 0) на ступі:-:часту систему
- ^І-г ^3 + 2А'я =—1,1
2х,- х^-6,}
-\: _ 2^- 0. ] Ця система, а отже, і задана система мають єдиний розв'язок (2, —3, 0).
І, , •
2. Розв'язати снетегу " "' '
:г 2хі+3^+5^-^Х^ 5, • • : Зл:і+4^+2хз+&»;4==—2, Хї+2.^+8хз- ^= 8, 7^+°-ї2+ ^+8Х4= 0. Розв'язання. Зведемо розширену матрицю до ступінчастого вигляду
(235 2 5\ /128 —1 8\ 342 3—2І(342 3 — 2 1 1 2 8 —1 8 І ""І 2 3 5 2 5 } ^791 8 О/ \7 9 1 80/
(1 2 8—1 8\ /1 2 81 8\ 0—2—22 6 —2б| |0 —2 —22 6 — 26 \ "^ 0 —1—11 4—11 і|о О 01 2}' 0 —5 —55 15 —56/ \0 О 00 9/
Отже, задана система лінійних рівнянь перетворюється на ступінчасту систему, в якій міститься рівняння 0=9, тому вона несумісна.
3. Розв'язати систему
*і+2^+3<з+ 4^+ 5х,=0, \ 2л:і+3^+4^+ 5г,+ ^,=0, | 3^+4л;24-5хз+ ^4+^=0,
•»:1+3л:г4-5.»;з+12^4+ 9^=0, ЗХі+бх^-{-9х,+17х^+10х^=0.
Розв'язання. Розширену матрицю цієї системи зведемо до ступінчастого вигляду
~1 2 3 4 5 0~ '"1 2 3 4 5 0~ 234510 0—1—2—3—90 345 1 20 ->• 0—2—^—11—130-»-1 3 5 12 9 0 0128 40
_3 69 17 10 0 00 о 5 —50 ''
~1 23 45 0~ "'1 2 3 ' 4 "5 0'"' ' -
0—1—2—3—90 012 390 ^ 0 0 0 —5 5 0 ->- 000—1 1 0 , -1-
0 0 0 5—50 000 000 _0 О 05—50 000 000
Отже, задана система лінійних однорідних рівнянь перетворюється на ступінчасту
^+2^-3^+4^+5^=0, ) ," ^.+2^з+3^+9^=0, - ^
— *-4+ •<'5=0. )
Вважати-мемо невідомі х^, х,., х^ основними, а невідоміХу, х^ — вільними. Нехай Хз '= 'х, х, = р. ?- .останньої системи знаходимо х^ == v. -+• 15р, х, == —2а— 12р, 4= Р.^ , ., ^ , : ,•,,
Викладений вище метод розв'язування систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса, або методом послідовного виключення невідомих. Цей метод досить зручний для розв'язування вручну систем лінійних рівнянь з невеликою кількістю невідомих. Він з успіхом може бути використаний також для розв'язування лінійних систем на ЕОМ, проте часто для цього ефективнішими виявляються інші методи, наприклад, ітераційні (послідовних наближень). Так, зокрема, буває тоді, коли коефіцієнти і вільні члени системи є дійсні числа, знайдені вимірюванням деяких фізичних величин, і, отже, відомі наближено, з певним ступенем точності, тоді й розв'язки системи, природно, знаходимо також з певним ступенем точності.
Однак метод Гаусса поряд з простотою і ефективністю має істотний недолік: він не дає змоги сформулювати в термінах коефіцієнтів і вільних членів лінійної системи умови її сумісності та визначеності, а також знайти формули, які б виражали компоненти розв'язку сумісної системи через її коефіцієнти і вільні члени, тобто давали змогу відразу знаходити розв'язки системи. Проте при розгляді різних теоретичних питань необхідно мати саме такі формулювання і формули. Тому теорію систем лінійних рівнянь доводиться розвивати іншими методами, — на основі теорії визначників.
Список використаної літератури:
1) Бойков М.С. "Лабиринты математики", Москва, 1984р.
2) Шапов С.К. "Математика, теорія і практика", Київ, 1989р.
3) Белов К.М. "Вища математика", Київ, 1978р.
4) Оллер О.П. "В мире математики", Москва, 1983р.