(3.41)
Областю визначення цієї функції є , причому при
зростанні від до зростає від нуля до . Оскільки , то крива (3.41) опукла.
Розглянемо пряму і оцінимо різницю
.
Очевидно, що при будь-яких матимемо . Якщо прямує до , то вираз в дужках є невизначеністю типу . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на . Тоді одержимо
.
Тепер уже очевидно, що при різниця прямує до нуля, тобто прямує до злиття з кривою .
На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь (3.40), якщо врахувати при цьому, що відповідна крива центральносиметрична (рис. 3.20).
Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки і називаються вершинами гіперболи, вісь - дійсною, а вісь - уявною осями гіперболи.
Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки і ,
, а також точку на кривій. Запишемо різницю:
.
Після тотожних перетворень одержимо
.
Щоб ця рівність збігалася з (3.40), повинно бути .
Рис. 3.20
Оскільки, то . Звідси одержуємо таке означення гіперболи.
Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей якихвід двох даних точок є сталою величиною. Точки і називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.
Вісь називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при одержуємо , де - уявна одиниця.
Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи . Тоді на основі означення гіперболи одержимо . Як і у рівнянні еліпса, маємо
.
З цих двох рівнянь маємо
де .
Величина називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку
еліпса, прямі називаються директрисами гіперболи. Через те, що , директриси розміщені між вітками гіперболи.
Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює .
У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції
.
Легко довести, що .
Розглянемо тепер гіперболу
.
Нехай , де - змінний параметр. Підставивши у рівняння гіперболи вирази для , одержимо , тобто вони задовольняють рівнянню гіперболи. Тому рівняння
є параметричним рівняння гіперболи.
Рівняння дотичної прямої до гіперболи в точці , що лежить на гіперболі, має вигляд
Приклад. На площині задано дві точки (рис. 3.21). Дві прямі обертаються навколо цих точок у протилежних напрямках з однаковою кутовою швидкістю. Перед початком руху одна з прямих збігається з прямою , друга - перпендикулярна до . Знайти рівняння кривої, що описується точкою перетину прямих, що обертаються.
Р о з в ’ я з о к. Вісь проведено через точки , а вісь через точку - середину відрізка перпендикулярно до . Розглянемо проміжне положення двох прямих, що обертаються. Нехай вони перетинаються у точці , причому їх кутові швидкості обертання дорівнюють . Нехай від початку руху пройшов час . Тоді .
З рис .3.29 маємо
;
.
Звідси .
Рис. 3.21
Отже траєкторією точки перетину прямих є рівнобічна гіпербола.
3.6.3.Парабола
Нехай в (3.36) всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю. Тоді матимемо або
, (3.42)
де . Зрозуміло, що коли , то , і коли , то .
Розглянемо випадок, коли .
Крива, що описується рівнянням (3.42), називається параболою.
Виходячи лише з рівняння (3.42), вивчимо її властивості, форму і побудуємо графік.
З самого рівняння ясно, що відповідна крива симетрична відносно осі , бо при заміні на рівняння не змінюється. Оскільки , то графік параболи розміщений у І-й і ІУ-й чвертях. Обмежуючись тимчасово І чвертю, встановимо її властивості. Маємо . Ясно, що крива проходить через початок координат, що при зростанні зростає і , що , а це означає, що відповідна крива є опуклою.
Отже, її графік має вигляд рис.3.22.
Рис. 3.22
Розглянемо деяку точку і пряму і обчислимо:, . Вияснимо, при яких рівність збігається з (3.42).
Звільнившись від ірраціональності, після спрощення, одержимо . Тоді . Враховуючи все це, приходимо до висновку, що співпадання з рівнянням (3.42) відбудеться при тобто а це означає, що .
Виходячи з цього, маємо таке означення параболи: параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.
З описаного випливає, що парабола має лише одну директрису , що фокус параболи знаходиться в точці і що її ексцентриситет .
Всі три криві (еліпс, гіпербола і парабола) визначають множину точок площини, відношення яких від даної точки (фокуса) до віддалі від даної точки до даної прямої (директриси) є величина стала .
3.6.4. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних
координатах
Нехай - один із фокусів еліпса або гіперболи, або фокус параболи, - дуга однієї з вказаних кривих (рис. 3.23). Із рисунка маємо
З останньої рівності маємо
(3.43)
Рівняння (3.43) описує одну з кривих (еліпс, гіперболу або параболу) залежно від того, яким є :
якщо , то рівняння описує еліпс;
якщо , то рівняння описує гіперболу;
якщо , то рівняння описує параболу.
Універсальність полягає в тому, що одним і тим самим рівнянням описуються всі криві (еліпс, гіпербола і парабола). Рівнянням (3.43) користуються в механіці та астрономії при вивчені руху планет.
Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними перерізами двопорожнинного конуса. Цей факт чудово ілюструється рис.3.24 і вказує на джерело універсальності трьох розглянутих кривих.
Рис. 3.23 Рис. 3.24