Пошукова робота
на тему:
Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола).
План
1. Криві другого порядку на площині
Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.
Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням
, (3.36)
де - деякі коефіцієнти.
Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.
З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис.3.16).
Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.
Рис.3.16
3.6.1. Еліпс
Нехай у рівнянні (3.40) дорівнюють нулю, коефіцієнти і мають однаковий знак, протилежний знаку . Тоді рівняння кривої матиме вигляд ,
.
Оскільки і , то можна покласти , . Тоді рівняння набере вигляду
. (3.37)
Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні на і на рівняння не змінюється, тому крива (3.37) є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат .
При матимемо , а при . Виразимо з (3.37)
Виразимо з (3.37) через . Тоді для першої чверті матимемо
. (3.38)
Очевидно, що , тобто .
Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої (3.37), що еліпс розміщений між двома прямими і . Аналогічно можна показати, що еліпс (3.37) розміщений і між прямими і . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: .
Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - осі еліпса, а їх половини – півосі. При цьому вісь осі називатимемо великою віссю еліпса, а вісь осі - малою.
Розглянемо на осі дві точки і , а на кривій довільну точку . Нехай сума дорівнює деякому числу , тобто
Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно), одержимо
.
Щоб ця рівність збігалася з (3.41), треба прийняти і
. Отже, . Звідси випливає, що на осі всередині прямокутника існують дві точки і ,
що сума їх віддалей від довільної точки еліпса дорівнює - великій осі еліпса.
З цих міркувань одержуємо таке означення: еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох даних точок (фокусів) є величина стала і дорівнює.
З формули (3.38) очевидно, що при збільшенні від до величина зменшується від до
Оскільки друга похідна функції (3.42) по від’ємна то у першій чверті крива опукла.
Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову (рис.3.17).
Рис.3.17
Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках і прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.
Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми (рис.3.18).
Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал.
Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі
між фокусами еліпса до довжини великої осі: .
Рис. 3.18
Оскільки то . Для кола . Тому ексцентриситет кола дорівнює нулю.
Позначимо Величини назвемо фокальними радіусами. З означення еліпса маємо Легко встановити, що З останніх двох рівнянь одержимо
. (3.39)
На рис. 3.19 зображено еліпс і прямі , довільна точка , її віддаль від прямої . Розглянемо відношення Якщо то Те саме можна виконати і з прямою . Отже, одержимо дві прямі . Ці дві прямі називаються директрисами еліпса. Із сказаного приходимо до такого висновку: відношення віддалей будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина стала, що дорівнює ексцентриситету еліпса.
Якщо ексцентриситет еліпса зменшується, то директриса еліпса віддаляються від нього, сам еліпс стає все більш опуклим і у граничному випадку, коли він стає рівним нулю, директриси віддаляються на нескінченність. Це означає, що коло не має директрис. При збільшенні ексцентриситету еліпс стає все більше розтягнутим, а директриси при цьому стають все ближчими до еліпса.
Рис. 3.19
Нехай потрібно знайти дотичну до еліпса у точці , що належить еліпсу. Розглянемо довільну пряму , що проходить через точку . У рівняння еліпса замість підставимо і розв’яжемо квадратне рівняння
В результаті одержимо квадратне рівняння відносно . Щоб одержане рівняння мало лише один розв’язок, тобто щоб вказана пряма була дотичною до еліпса у точці , необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного рівняння відносно дорівнював нулю. З цієї умови знайдемо . Після цього вже легко записати рівняння дотичної. Читачеві пропонується довести вказаним способом, що рівняння дотичної матиме вигляд
Цю ж задачу можна розв’язати і за допомогою похідної.
Приклад. Написати рівняння дотичної, що проходить через точку , до еліпса
Р о з в ’ я з о к. Нехай рівняння дотичної має вигляд
Тоді, підставивши у рівняння еліпса, одержимо:
.
Після спрощення, це рівняння матиме вигляд
.
Щоб пряма була дотичною до еліпса, треба, щоб попереднє рівняння мало лише один розв’язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто
.
Після скорочення на 4 матимемо
У результаті спрощень приходимо до рівняння
звідки
Отже через задану точку до еліпса можна провести дві дотичні:
Зауваження. У цьому прикладі не лежить на еліпсі. Тому безпосередньо скористатись наведеною формулою для дотичної неможливо, бо формула виведена для того випадку, коли точка, через
яку треба провести дотичну, лежить на еліпсі.
Рівняння еліпса у прямокутних координатах має вигляд
Очевидно, що коли в рівняння еліпса замість і підставити відповідно і , то одержимо тотожність , то одержимо тотожність , тобто формули задовольняють рівняння еліпса. Тому теж є рівняннями еліпса. Ці рівняння називають параметричними рівняннями еліпса, бо тут залежать від параметра . Параметричними рівняннями можуть описуватись і криві, значно складніші за еліпс. Наприклад, крива
не є еліпсом. Але її теж можна описати параметричними рівняннями:
.
Вони значно простіші, ніж рівняння, задане в прямокутній системі координат.
3.6.2. Гіпербола
Якщо в рівняння (3.40) всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю, причому мають різні знаки, то одержимо
.
Останнє рівняння можна записати у вигляді
, (3.40)
де або
Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (3.40) (із знаком “+ “ в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою. Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну через , вважаючи, що і (перша чверть):