Нехай серед величин дві, наприклад і , дорівнюють нулю. Тоді (4.30) набере вигляду
(4.32)
Тут, звичайно, можна підібрати так, щоб . Тоді рівність (4.32) запишеться так:
(4.33)
Далі здійснимо підстановку
Вона зведе останню рівність до такої:
.
Звідси
(4.34)
Поверхня (4.34) є параболічним циліндром з твірними, паралельними осі , а його напрямною є парабола.
Якщо в (4.34) , то одержимо рівняння
.
При це рівняння описує пару уявних паралельних площин, а при - пару дійсних паралельних площин.
Якщо в (4.33) , то (4.33) - пара площин, що збігаються.
Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду здійснюється за тією ж схемою, що й рівняння (4.24). Різниця лише в тому, що змінних тут на одну менше, а тому характеристичне рівняння буде не кубічним, а квадратним; систем рівнянь для знаходження власних векторів буде лише дві і при тому ще кожна система рівнянь складатиметься не з трьох рівнянь, а з двох.
Приклад 2. Визначити, яку криву визначає рівняння
і побудувати її.
Р о з в ’ я з о к. Характеристичне рівняння має вигляд
Розв’язавши це рівняння, одержимо . Знайдемо тепер власні вектори. Якщо , маємо таку систему рівнянь для знаходження власного вектора :
Звідси знаходимо .
При маємо систему рівнянь
.
Зводимо власні вектори і до одиничних:
.
Отже, перетворення координат записується так:
.
Лінійна частина рівняння набуває вигляду
Задане рівняння стає таким:
Якщо здійснити в цьому рівнянні паралельне перенесення системи координат за формулами , то, прирівнявши до нуля коефіцієнти при і і розв’язавши відповідну систему рівнянь одержимо
Рівняння відносно і набирає найпростішої (канонічної ) форми:
еліпс.
Отже, дане рівняння є еліпсом (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Приклад 3. Визначити, яку поверхню визначає рівняння
.
Р о з в ’ я з о к. Характеристичне рівняння має вигляд
.
Коренями цього рівняння є .
Власні вектори:
для
для
Третій власний вектор знайдемо з умови
Одиничні вектори:
Перетворення координат:
Підставивши ці формули в лінійну частину рівняння поверхні другого порядку, одержимо
У нових координатах рівняння буде таким:
Паралельне перенесення за формулами приведе до рівняння
(однопорожнинний гіперболоїд).
Паралельно з цим було знайдено і координати початку координатної системи по відношенню до системи координат :
4.5. Застосування елементів лінійної алгебри в економіці
Для розв’язування багатьох економічних задач використовуються елементи алгебри матриць, теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Особливо при розробці і використання баз даних: при роботі з ними майже вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.
4.5.1. Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки
Макроекономіка функціонування багатогалузевого господарства вимагає балансу між окремими галузями. Кожна галузь, з одного боку, є виробником, а з іншого – споживачем продукції, що випускається іншими галузями. Виникає досить непроста задача розрахунку зв’язку між галузями через випуск і споживання продукції різного виду. Вперше ця проблема була сформульована у вигляді математичної моделі в працях відомого американського економіста В.Леонт’єва в 1936 р., який спробував проаналізувати причини економічної депресії США 1929-1932 рр. Ця модель основана на алгебрі матриць і використовує апарат матричного аналізу.
Для простоти будемо вважати, що виробнича сфера господарства представляє собою галузей, кожна з яких виробляє свій однорідний продукт. Для забезпечення виробництва кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Процес виробництва розглядається за деякий період, наприклад, за рік.
Введемо позначення:
загальний об’єм продукції ої галузі (її валовий випуск);
об’єм продукції ої галузі, що споживається ою галуззю при виробництві об’єму продукції ;
об’єм продукції ої галузі, що призначена для реалізації (споживання) в невиробничій сфері, або так званий продукт кінцевого споживання. До нього відносяться особисте споживання громадян, задоволення суспільних потреб, утримання державних інститутів і т.д.
Балансовий принцип зв’язку різних галузей промисловості полягає в тому, що валовий випуск ої галузі повинен дорівнювати сумі об’ємів споживання в виробничій і невиробничій сферах. В найпростішій формі (гіпотеза лінійності) балансові співвідношення мають вигляд
(4.35)
Рівняння (4.35) називаються рівняннями балансу.
В. Леонт’євим, на основі аналізу економіки США в період перед другою світовою війною, був встановлений важливий факт: на протязі тривалого часу величини змінюються дуже мало, а тому їх можна вважати постійними. Це явище стає зрозумілим в світлі того, що технологія виробництва залишається на одному й тому ж рівні тривалий час, а, значить, об’єм споживання ою галуззю продукції ої галузі при виробництві своєї продукції об’єму є технологічна константа.
В силу вказаного факту можна зробити таке припущення: для виробництва продукції ої галузі об’му потрібно використовувати продукцію ої галузі об’єму де постійні числа. При такому припущенні технологія виробництва приймається лінійною, а саме це припущення називається гіпотезою лінійності. При цьому числа називаються коефіцієнтами прямих затрат. Згідно з гіпотезою лінійності
(4.36)
Тоді рівняння (4.35) можна записати в матричній формі
(4.37)
де вектор-стовпець об’єму виробленої продукції (вектор валового випуску), вектор-стовпець об’єму продукції кінцевого споживання (вектор кінцевого споживання), матриця коефіцієнтів прямих затрат:
(4.38)
Переважно співвідношення (4.37) називають рівнянням лінійного міжгалузевого балансу. Разом з описанням матричного представлення (4.38) це рівняння носить назву моделі Леонт’єва.
Рівняння міжгалузевого балансу можна використовувати вдвох випадках: 1) коли відомий вектор валового випуску , а потрібно розрахувати вектор кінцевого споживання 2) з метою планування із наступним формулюванням задачі: для періоду відомий вектор кінцевого споживання і потрібно визначити вектор валового випуску.
Система (4.37) має ту особливість, що всі елементи матриці і векторів повинні бути невід’ємними.
Матриця всі елементи якої невід’ємні, називається продуктивною, якщо для довільного вектора з невід’ємними компонентами існує розв’язок рівняння (4.37) – вектор всі елементи якого невід’ємні. В такому випадку і модель Леонт’єва називається продуктивною.
Для рівнянь типу (4.37) розроблена відповідна математична теорія дослідження розв’язку і його особливостей. Приведемо без доведення важливу теорему про продуктивність матриці
Теорема. Якщо для матриці з невід’ємними елементами і деякого вектора з невід’ємними компонентами рівняння (4.37) має розв’язок з невід’ємними компонентами, то матриця продуктивна.
Очевидно, що розв’язок (4.37) має вигляд :
(4.39)
Матриця називається матрицею повних затрат.
Існує декілька критеріїв продуктивності матриці Приведемо два з них.
Перший критерій продуктивності. Матриця продуктивна тоді і тільки тоді, коли матриця існує і її елементи невід’ємні.
Другий критерій продуктивності. Матриця з невід’ємними елементами продуктивна, якщо сума елементів за довільним її стовпцем (рядком) не перевищує одиниці:
(4.40)
причому хоча б для одного стовпця (рядка) ця сума строго менша одиниці.
Приклад. 1. Дані балансу трьох галузей промисловості за деякий період записані в табл.1. Потрібно знайти об’єм валового випуску продукції, якщо кінцеве споживання за галузями збільшити відповідно до 60, 70 і 30.
Таблиця 1
| №п/п | Галузь | Споживання | Кінце-вийпродукт | Вало-вий випуск | ||
| 1 | 2 | 3 | ||||
| 123 | Добування і переробка вуглеводівЕнергетикаМашинобуду-вання | 51020 | 351010 | 202010 | 406010 | 10010050 |
Р о з в ‘я з о к. Випишемо вектори валового випуску і кінцевого споживання та матрицю коефіцієнтів прямих затрат. Згідно формул (4.36) і (4.38),
Матриця задовольняє обидва критерії продуктивності. У випадку заданого збільшення кінцевого споживання новий вектор кінцевого продукту буде мати вигляд .
Потрібно знайти новий вектор валового випуску , що задовольняє співвідношенням балансу в припущенні, що матриця не зміниться. В такому випадку компоненти невідомого вектора знаходяться із системи рівнянь, яка в матричній формі має вигляд (4.37) або де матриця має вигляд
Звідси розраховується новий вектор як розв’язок рівняння
Знайдемо обернену матрицю (матрицю повних затрат ) (обчислення проводимо з точністю до третього знаку):