Пошукова робота на тему:
Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду. Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки.
План
Квадратичні форми і зведення їх до канонічного вигляду
Квадратична форма, її канонічний вигляд
Квадратичною формою називається однорідний многочлен другого степеня відносно змінних Квадратична форма має вигляд
(4.20)
причому - дійсні коефіцієнти.
Наприклад, квадратична форма двох змінних і має такий вигляд:
оскільки
Якщо через позначити матрицю а через матрицю-стовпчик то рівність (4.20) можна записати в матричній формі
(4.20/)
де
Через те, що в матриці , матриця є симетричною. Читачеві рекомендується перевірити формулу (4.20) звівши її до вигляду (4.19), користуючись явними записами матриць .
Симетрична матриця називається матрицею квадратичної форми. Якщо матриця має діагональний вигляд, то такий вигляд квадратичної форми називається канонічним виглядом.
Нехай тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:
(4.21)
Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).
Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.
Теорема 2. (закон інерції квадратичних форм). Число додатних і від’ємних коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису, в якому вона приведена до канонічного вигляду.
4.4.2. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду
У формулі (4.20/) виконаємо заміну , де , де
Матриця, обернена до якої співпадає з транспонованою, називається ортогональною.
Із заміни маємо ( при транспонуванні добутку матриць змінюється порядок перемноження матриць). Підставивши в (4.22) замість їх вирази, одержимо
де .
Отже, , де .
Теорема. Якщо матриця симетрична, то симетричною є і матриця .
Д о в е д е н н я. . Згідно з означенням симетричної матриці теж симетрична, що і треба було довести.
З теореми і заміни випливає, що є матрицею квадратичної форми, після заміни змінної. Оскільки - ортогональна матриця, тобто , то . Матрицю можна підібрати так (див.п.4.3.4, властивість 60), щоб
(4.22)
Числа є власними значеннями матриці .
Якщо рівняння (4.19) має всі різні корені, то розв’язавши систему рівнянь (4.18) для кожного , одержимо взаємно ортогональних власних векторів:
Оскільки матриця - ортогональна, то , тобто
(4.23)
Зауваження. Після знаходження власних значень матриці із (4.19) і розв’язання системи рівнянь (4.18) одержимо власні вектори , які взагалі кажучи, не будуть одиничними. В такому разі з них можна одержати одиничні, поділивши кожний з них на його довжину Після такої операції уже будуть виконуватись умови (4.23). У нових змінних задана квадратична форма набуває вигляду
.
Приклад 1 . Звести квадратичну форму до канонічного вигляду і знайти перетворення, з допомогою якого здійснюється це зведення .
Р о з в ’я з о к. Матриця квадратичної форми така:
Характеристичне рівняння має вигляд(всі власні значення різні).
Тому .
Тепер знайдемо елементи матриці :
для маємо , тобто ;
для ;
для ,
тобто .
Перетворення координат:
;
;
.
Припустимо, що деякий корінь рівняння (4.19) є -кратним. Підставивши в систему (4.18) замість корінь , одержимо одномірну систему, що має лінійно незалежних розв’язків. Це означає, що система (4.18) зведеться до рівнянь. Знайдемо який-небудь ненульовий розв’язок цієї системи і запишемо відповідний йому вектор .Вважатимемо його зведеним до одиничного. Якщо він спочатку був неодиничним, то діленням його на одержимо одиничний вектор. Щоб знайти наступний вектор, додамо до рівнянь системи (4.18) ще одне рівняння, що виражає ортогональність нового шуканого вектора до вже знайденого . Тоді одержимо систему з рівнянь. Знайшовши її розв’язок, перейдемо до знаходження третього вектора, що відповідає власному значенню . Для цього додамо до основних рівнянь системи ще два рівняння, що виражають ортогональність нового вектора до знайдених двох, і так далі - поки не побудуємо всю сукупність одиничних взаємно ортогональних векторів, що відповідають кореню рівняння (4.19) кратності . У частинному випадку, коли і рівняння (4.19) має двократний корінь , то, знайшовши з (4.18) один вектор , другий знайдемо з умови . У випадку, коли рівняння (4.19) має трикратний корінь при , то знайшовши з системи (4.18) один вектор , другий знайдемо з умови , а третій знайдемо з умови , тобто є векторним добутком векторів і .
4.4.3. Зведення загального рівняння поверхні (лінії) другого порядку до канонічного вигляду
Квадратичними формами від трьох змінних описується ряд поверхонь тривимірного простору. Вивчення їх властивостей, наприклад, однопорожнинного гіперболоїда, привело до можливості вирішення цікавих, високої міцності технічних конструкцій при малих затратах матеріалу і простоти їх реалізації. Прикладами таких споруд є конструкції інженера В.Г.Шухова (1853-1939) (водонапірний резервуар у м. Конотопі Сумської області, телевежа Шухова у Москві, щогли, башти, опори тощо).
У сучасний період, коли інтенсивно використовуються ЕОМ, навіть при обробці складних поверхонь важливих деталей машин і установок за допомогою копіювально-фрезерних верстатів, конструктор прагне задавати контури деталей аналітичними поверхнями. Питання зведення заданої матриці до діагональної форми і розшукання матриці, за допомогою якої здійснюється це зведення, є алгебраїчним аналогом того факту сучасної квантової механіки, згідно з яким матрична механіка Гейзенберга по суті рівнозначна хвильовій механіці Шредінгера. Різниця тут полягає лише в тому, що в подібних питаннях доводиться мати справу з простором, що має нескінченну кількість вимірів. Але для вивчення таких питань обмежитись лише рамками звичайної алгебри неможливо, потрібний вихід в апарат аналізу.
Загальне рівняння поверхні другого порядку має вигляд
(4.24)
a загальне рівняння лінії в площині
(4.25)
Зведення цих рівнянь до канонічної форми здійснюється за два етапи.
І. Зведення квадратичної форми
до канонічного вигляду (4.26)
(4.27)
В результаті здійснення першого кроку рівняння (4.24) набуває вигляду
4.28)
2. Другий крок полягатиме в тому, щоб паралельним перенесенням системи координат позбутися або всіх членів з першими степенями , і , або двох із них, або лише одного. Рівняння (4.25) спрощується так само. Різниця лише в тому, що вказані два етапи будуть значно простішими, бо в (4.25) маємо справу не з трьома, а з двома змінними.
Питання про спрощення квадратичних форм розглядалося в попередньому параграфі..
Перший етап. Поворот системи координат.
Знаходимо корені характеристичного рівняння:
Нехай коренями цього рівняння (власними значеннями) відносно є числа .
Тоді рівняння (4.24) можна записати у вигляді (4.28) після того, коли буде знайдене ортогональне перетворення, яке переводить квадратичну форму (4.26) в (4.27). Знаходження ортогонального перетворення потрібне для того, щоб обчислити коефіцієнти в (4.28). Ортогональне перетворення з геометричної точки зору є повертанням системи координат на такий кут, щоб осі координат збігалися з осями симетрії поверхні, якщо вона має три осі симетрії. У випадках двох осей симетрії - щоб дві з осей координатної системи збіглися з осями симетрії, у випадку однієї з осей симетрії - з однією з осей координат.
Другий етап. Паралельне перенесення системи координат.
Тепер матимемо справу з рівнянням (4.28). У ньому мусить бути хоч одне з відмінним від нуля. Для спрощення рівняння (4.28) здійснимо паралельне перенесення системи координат за формулами
(4.29)
Для цього формули (4.29) підставимо в (4.28). Після елементарних перетворень одержимо:
(4.30)
Якщо кожне з не дорівнює нулю, то члени з можна перетворити в нуль, підібравши так, щоб .
Звідси знаходимо
У цьому випадку рівняння поверхні набуває вигляду
(4.31)
де
Поверхня (4.31) буде або еліпсоїдом, або однопорожнинним гіперболоїдом (дійсним чи уявним), або двопорожнинним гіперболоїдом, або єдиною точкою, або конусом, або уявним еліпсоїдом. Читачеві пропонується розібратися в цьому самостійно.
Припустимо, що серед величин одна, наприклад , дорівнює нулю. Тоді в (4.30) неможливо знищити коефіцієнт при (чому?). Тому для визначення потрібно прирівняти до нуля коефіцієнти при і , а також вільний член.
В результаті одержимо поверхню
У цьому випадку будемо мати або еліптичний, або гіперболічний параболоїд, або пару площин, що перетинаються, або пару уявних площин, що перетинаються по спільній дійсній осі. Якщо в (4.31) , то матимемо ще крім того еліптичний циліндр (дійсний або уявний), гіперболічний циліндр. І тут читачеві слід вияснити, за яких умов можуть трапитись вказані випадки.