Р о з в ’ я з о к. Розв’язок даного диференціального рівняння запишемо у вигляді ряду за степенями
Із рівняння знаходимо Диференціюючи рівняння по одержимо
і
і
Тоді
Якщо рівняння лінійне, то зручніше шукати коефіцієнти розкладу частинного розв’язку за методом невизначених коефіцієнтів.
Для цього шукаємо розв’язок у вигляді степеневого ряду
,
підставляємо його безпосередньо в диференціальне рівняння та прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в різних частинах рівняння.
Приклад 2. Знайти перших 5 членів розкладу в степеневий ряд розв’язку диференціального рівняння
з початковими умовами
Р о з в ’ я з о к. Запишемо розв’язок рівняння у вигляді степеневого ряду
Продиференціюємо його почленно два рази
В силу початкових умов Підставляємо і в диференціальне рівняння ( для використаємо ряд (13.56) ):
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях одержимо систему рівнянь
із якої послідовно знаходимо
і т. д.
Тоді