Рис. 4
В подальшому такі суми вдалося виразити за допомогою біноміальних коефіцієнтів Сkn, що відіграють важливу роль в комбінаториці.
Перехід від площини до простору дав можливість будувати ще більш складні числа. Наприклад з трикутників можна скласти піраміди. Підраховуючи кількість крапок в таких пірамідах, прийшли до пірамідальних чисел 1, 4, 10, 20, ..., що були сумами ряду 1 + 3 + 6 + 10 + ..., складеного з натуральних чисел. Проте подальше узагальнення потребували введення багатомірних просторів, що лежало за рамками можливостей давньогрецької математики.
Вчення про фігурні числа приваблювало до себе математиків на протязі багатьох століть. Ними багато займався французький вчений П’єр Ферма, що жив у XVІІ ст.. Він довів, наприклад, що будь-яке натуральне число є чи трикутне чи сума 2 чи 3 трикутних чисел, квадратне чи сума 2, 3, 4 чи 5 п’ятикутних і т.д. Як і багато інших отриманих ним результатів, він лише сформулював це твердження в листі до Блеза Паска ля (юрист по основній професії, Ферма займався математикою лише у години дозвілля). Часткові випадки цієї теореми довели Ейлер та Лагранж, а взагалі доведення було дано в 1815 р. французьким математиком О. Коші.
Одночасно з комбінаторикою чисел грецькі вчені займались і окремими питаннями геометричної комбінаторики – правильними і напівправильними многогранниками, складанням фігур з 14 частин особливим методом розрізаного квадрата і т.д. Останньому питанню була присвячена робота Архімеда „Стомахіон”.
Рис.5
Містики, астрологи, кабалісти
З ІІ ст. до н.е. починається спочатку поступовий, а потім все більш швидкий занепад науки в елліністичних країнах, що відображав загальну кризу рабовласницької общини. Багато тогочасних робіт були присвячені містичним тлумаченням чисел в дусі піфагорейців (наприклад, „Арифметична теологія” неопіфагорейця Никомаха, що жив у І – ІІ ст. до н.е.). великий розвиток отримали різноманітні числові вірування та тлумачення, пов’язані із заміною букв, що відповідали числам (греки позначали числа за допомогою букв – перші 9 букв алфавіту позначали числа від 1 до 9, наступні за ними – від 10 до 90, а останні 9 букв – від 100 до 900). Були „вчені”, яких називали кабалістами, які піддавали такому „аналізу” слова Біблії та інших священних книг і робили на основі своїх винаходів пророцтва про майбутнє світу.
У часи богословських спорів, що почалися після перемоги християнства, намагалися отримати з імен єретиків число 666 – адже по Апокаліпсису це було „тваринне число”, символ анти християнства. Такі спроби робились і пізніше – лютерани намагались вивести число 666 з імені римського папи, а католики – з імені Мартіна Лютера. У романі „Війна і мир” Л. М. Толстой описує, як П’єр Безухов намагався вивести це число з імені Наполеона Бонапарта. Такого роду досліди при всій своїй без результативності давали поштовх до майбутнього розвитку комбінаторики.
Наряду з кабалістами і містиками комбінаторикою в ці темні століття занепаду науки займались астрологи. Їх цікавило питання про рух планет і їх „вплив” на долі людей. Особливе значення надавали вони порядку планет – зустрічі планет одному знаку Зодіаку. Астролог Бен Езра у 1140 році розрахував кількість суміщень семи планет по дві, по три і т. д. Він знав, що число суміщень планет по дві дорівнює числу їх суміщень по п’ять, а число суміщень по три дорівнює дорівнює числу суміщень по чотири. Якщо позначити ці твердження сучасними символами, то отримаємо рівності С27 = С57 і С37= С47 (через Сknвизначають число суміщень з nрізних предметів поk).
В остаточному вигляді формулу для числа суміщень отримав математик Леві бен Гершон (початок XIV ст.), довівши, що
Ckn= n (n - 1)… (n – k + 1) (1)
Проте його робота, написана на мало досяжному для багатьох вчених древньоєврейській мові, залишилась майже непоміченою – знову формулу (1) вивів на початку XVII ст. французький математик П. Ерігон.
Комбінаторика і схоластики
Своєрідною комбінаторикою займались і логіки. Продовжуючи досліди Аристотеля, вони класифікували поняття і логічні судження. В ІІІ ст. н.е. сирієць Порфирій для класифікації понять склав особливу схему, яка отримала назву „дерево Порфирія”. На вершині цього дерева містилось найширше за об’ємом поняття, вузли дерева відповідали різним роз’ясненням поняття, а лінії між вузлами відображали підлеглість понять одне одному. Схожі дерева зараз широко використовуються додатках комбінаторики до різноманітних питань.
Один із засновників медицини, Гален, в ІІ ст. н.е. займався класифікацією силогізмів, що складалися з чотирьох частин. Римський філософ і математик Боецій (V – VІ ст. н.е.) знайшов число пар, які можна скласти з п’яти категорій модальності, беручи їх як в затверджу вальній, так і в заперечній формі і ставлячи або на місце умови, або на місце слідства. Він також класифікував умовні силогізми.
Велику увагу класифікації видів суджень приділяла схоластична наука (взагалі в схоластиці химерно переплітались богуславські „вишуканості” з вивченням проблем, прилягаючих до комбінаторики, математичній логіці, теорії множин та іншим сучасним областям математики – великими затоками схоластичних дослідів були засновники теорії множин Бернард Больцано і Георг Кантор). Сперечаючись про взаємовідносини членів пресвятої трійці, про спів підлеглість ангелів, архангелів, херувимів та серафимів, схоласти були вимушені розглядати різні відношення порядку та ієрархії – достатньо згадати найскладнішу архітектуру стародавнього світу, яку описав Данте у „Божественній комедії” з її колами пекла і різними областями раю.
Схоласт Раймонд Люллій створив у ХІІІ ст. машину, що складалася з декількох кіл, на які було нанесено основні предикати, суб’єкти, атрибути та інші поняття схоластичної логіки. Повертаючи ці кола, він отримував різні суміщення понять і сподівався отримати з їх допомогою істину.
Комбінаторика в країнах Сходу
В VIII ст. н.е. почався розквіт арабської науки. Араби переклали багато творів грецьких учених, вивчили їх, а потім просунулись вперед по областях, мало звертавших увагу греків, - в науці про рішення рівнянь (саме слово „алгебра” – арабського походження), теорії та практиці обчислень та ін. Вирішуючи питання про знаходження коренів з будь-якого степеня, арабські алгебраїсти вивели формулу для степені суми двох чисел, яка відома під невірною історичною назвою „біном Ньютона”. Напевно цю формулу знав поет і математик Омар Хайям (ХІ – ХІІ ст. н.е.). у будь-якому випадку вже і ХІІІ ст. таку формулу друкує в своїх творах Насир ад-Дин ат-Туси, а в XV ст. вона була ретельно досліджена Гияседдином ал-Каші.
Судячи по деяких європейських джерелах, східним до арабських оригіналів, для пошуків коефіцієнтів цієї формули брали число 10001 и зводили його до 2-го, 3-го, ......, 9-го степеня. Виходила таблиця в якій жирним шрифтом були виділені коефіцієнти бінома Ньютона.
1000900360084012601260084003600090001
100080028005600700056002800080001
10007002100350035002100070001
1000600150020001500060001
100050010001000050001
10004000600040001
1000300030001
100020001
10001
Якщо опустити в цій таблиці зайві нулі, то вийде трикутна таблиця біноміальних коефіцієнтів. Арабські вчені знали основну властивість цієї таблиці, що виражається формулою
Ckn = Ckn–1 + Ck-1n-1
Одночасно з арабами вирахуванням біноміальних коефіцієнтів займались китайські математики. Вони склали до ХІІІ ст. н.е. таблицю таких чисел до n = 8, наведену в книзі алгебраїста Чжу Ши-дзе „Ямшове дзеркало”. Присутні здогади, що І Сінь в VIII ст. н.е. вирахував кількість різних розміщень фігур у грі, що нагадувала шахи.
Цікавились суміщеннями і в Індії. Ще в ІІ ст. до н.е. індійці знали числа Сkn і той факт, що сума C0n + C1n + … + Cnnдорівнювала 2n. А в ХІІ ст. індійський математик Бхаскара написав книгу „Лілаваті”, в якій серед інших питань математики вивчає і проблеми комбінаторики. Він пише про застосування перестановок до підрахунку варіацій у віршоскладанні, різних розміщень в архітектурі та ін. Він також дає правила для пошуку числа перестановок та суміщень декількох предметів, при чому розглядає і випадок, коли в цих перестановках є елементи, що повторюються.
LiberAbaci
На початку ХІІ ст. Східна Європа почала пробуджуватися після багатовікової духовної сплячки. Розвиток торгівлі зі Сходом призвів до проникнення у Європу арабської науки. Найбільш сміливі та охочі європейці пробиралися в Іспанію, що знаходилася під владою арабів, та знайомились там не тільки з твореннями грецьких вчених, але й з досягненнями арабської та індійської наукової думки – алгеброю та десятинною системою числення.
В арабських навчальних закладах отримав освіту і Леонардо – син видатного купця, що торгував у Алжирі. У своїй книзі „LiberAbaci”, що вийшла у 1202 р., Леонардо, котрий отримав прізвисько Фібоначчі, привів в систему арифметику арабів, деякі відомості з геометрії Евкліда і додав до них результати своїх досліджень. Праця Фебоначчі містила і нові комбінаторні задачі, наприклад про пошук найменшої кількості гир, за допомогою яких можна отримати будь-яку цілу вагу від 1 до 40 фунтів. Розглядав Леонардо і пошук цілих рішень рівнянь. В подальшому аналогічні задачі призвели до пошуку кількості натуральних рішень систем рівнянь і нерівностей, які можуть розглядатися як одна з глав комбінаторики.