Шифри та анаграми
Не тільки азартні ігри спонукали математиків до комбінаторних роздумів. Ще з давніх давен дипломати, що прагнули до таємних переписів, винаходили все більш складні шифри, а секретні служби інших держав намагалися ці шифри розгадати. Одним з найпростіших шифрів була „тарабарська грамота”, в якій літери замінювались іншими за певними правилами. Проте такі шифри легко розгадувалися за характерними поєднаннями літер. Тому почали застосовувати шифри, які були основані на комбінаторних методах, наприклад, на різних перестановках літер, заміна літер з використанням ключових слів та ін.
Для кодування та розшифровки залучались математики. Ще в кінці XVI ст. розшифровкою переписів між ворогами французького короля Генріха ІІІ та іспанцями займався один із творців сучасної алгебри Франсуа Вієт. А в Англії XVIIст. монархічні заколотники дивувались швидкості, з якою Кромвель проникав у їх замисли. Монархісти вважали шифри, якими вони користувались при переписі, нерозшифрованими, і вважали, що ключі до них були видані кимсь з учасників заколоту. І лише після падіння республіки та царювання Карла ІІ вони дізналися, що всі їх шифри розгадував один з найкращих англійських математиків того часу, професор Оксфордського університету Уолліс, котрий володів винятковими комбінаторними можливостями. Він назвав себе засновником нової науки „криптографії”.
Шифрами користувались не тільки дипломати і заколотники, але й самі вчені. До XVII ст. майже не існувало наукових журналів. Вчені дізнавалися про досягнення своїх колег з книг або приватних листів. Це створювало великі труднощі при опублікуванні нових результатів – адже друкування книг займало роки, а написати про свої відкриття приватним листом було ризиковано – хтось міг присвоїти досягнення, і потім довелося б доводити, що це він не сам вигадав, а дізнався з отриманого листа. Тому часто виникали суперечки на тему переваг. Ще в кінці XVII ст. йшли довгі суперечки на тему пріоритетів між Ньютоном та Лейбніцом (про те, хто першим відкрив диференціальне та інтегральне числення), Ньютоном та Гуком (хто першим сформулював закон всесвітнього тяжіння) та ін.
А давнину Архімеду доводилося застосовувати хитрощі. Коли деякі олександрійські вчені присвоювали собі його результати, про які дізнавались з отриманих від нього листів, він писав їм ще одного листа. Лист складався з формул для обчислень об’ємів та площ різних фігур і тіл. Олександрійці знову казали, що ці формули вони давно знають і нічого нового Архімед їм не повідомив. Але тут виявлялось, що усі ці формули були невірними!
Для того, щоб забезпечити пріоритет і не допустити передчасного розголосу отриманих результатів, вчені в короткій формі формулювали суть відкриття, а потім переставляли в ній літери і відправляли листа з переставленими літерами своїм колегам. Такі тексти з переставленими літерами називаються анаграми. Наприклад слово „Москва” та „смоква” – анаграми. Коли ж друкувалась книга з детальним викладенням результатів, в ній давалася і розшифровка анаграми.
Проте не завжди анаграми дозволяли зберегти все у таємниці. Коли Гюйгенс відкрив перший супутник Сатурна та визначив його порядок обертання навколо планети, він виклав своє відкриття в анаграмі і відправив її своїм колегам. Проте вже згадуваний вище Уолліс, отримав цю анаграму, розгадав її, після чого склав свою анаграму та відправив її Гюйгенсу. Коли вчені обмінювалися розгадками анаграми, то вийшло так, немов Уолліс ще до Гюйгенса зробив те ж саме відкриття. Потім Уолліс зізнався, що пожартував із Гейгенсом, щоб довести безкорисність анаграм у справі таємності. Проте, хоча Гейгенс і сам був великим любителем і знавцем комбінаторики, він не оцінив жарту і розізлився.
Ієрогліфи та клинопис
Навички в розгадці складних шифрів допомогли ученим, коли археологи почали відкопувати камені та черепи з таємними знаками – письменністю, що замовкла декілька тисячоліть тому. Одним з найкращих успіхів у розшифровці було читання французьким філологом Жаном Франсуа Шампольним ієрогліфів, якими писали єгиптяни ще до того, як виникла наука у древніх греків.
У Шампольна були попередники – шведський археолог Д. Окерблад та англійський фізик т. Юнг, які розшифровували єгипетські тексти за допомогою комбінаторного аналізу. В їхніх руках були „білінгви” – написи, які були зроблені одночасно на єгипетській та грецькій мовах. Порівнюючи обидва тексти та помічаючи повторність груп знаків, Окерблад упізнав деякі знаки так званого демотичного письма – пізньої стадії розвитку єгипетського письма. А творець хвильової оптики Томас Юнг полюбляв відпочити від роздумів на фізичні теми і займався то каліграфією, то складанням алфавітів іноземних мов, то... танцями на слабо натягнутому канаті, - на думку Юнга все, що могла зробити одна людина, могла повторити інша. У 1814 р. він взяв з собою на канікули древньоєгипетський папірус і спробував прочитати його. Не маючи потрібної філологічної підготовки, шляхом комбінаторного він отримав цікаві результати, а потім спробував прочитати ієрогліфи. Деяких успіхів він досяг і тут, але далося в знаки недостатнє знання мов – він шукав ієрогліфи не тільки для приголосних, але й для голосних літер, а в єгипетській мові голосні опускаються. Лише Шампольну, котрий поєднав незаурядний комбінаторний дар з глибокими знаннями філології, вдалося прочитати ієрогліфи.
Складність задачі, що постала перед Шампольном, доповнювалась незнанням мови написів та змісту знаків. Проте, виділивши знаки, які на грецькій мові означали імена царів, Шампольна помітив, що деякі знаки в іменах фараонів Птоломея та Клеопатри співпадають. Так були знайдені звучання ієрогліфів, що означали літери „л” та „п” (до цього місця дійшов і Юнг). А потім Шампольн прочитав імена римських імператорів Тиберія та Трояна, давніх фараонів Рамсеса та Тутмеса – ключ до читання ієрогліфів, втрачений декілька тисячоліть тому, був знову отриманий.
Це було торжеством комбінаторного методу у читанні забутих писемностей, заснованого на спостереженні за текстом, на співставленні повторюванні комбінацій слів та граматичних форм в поєднанні з уявою.
Ще тісніше пов’язана з комбінаторикою розшифровка клинописів. Історикам вдалося вияснити, що ці надписи було зроблено в епоху Ахеменідів, що правили в Ірані два з половиною тисячоліття тому назад. Були зроблені і припущення про мову надписів. А потім комбінаторний аналіз тексту виявив часте повторення певної групи знаків з семи знаків. Інколи ця група повторювалася двічі підряд з невеликими змінами. І датський вчений Мюнтер вирішив, що ця група означає слово „цар”, а повторення двічі – „цар царів”. Але дізнатись про звучання цих звуків Мюнтер не зумів. Це зробив молодий німецький учитель Гротефенд. Любитель різноманітних головоломок та таємного письма, одного дня він посперечався, що розшифрує клинопис. Аналізуючи поєднання звуків біля титулів „цар” та „цар царів”, Гротефенд побачив, що деякі з них зустрічаються у різних позиціях. Звідси було зроблено висновок, що це ім’я царя, яке в іншій позиції означає „син царя такого-то”. Це дозволило упізнати групу символів і для слова „син”. В одному місці після цієї групи знаків не стояло слово „царя”. Значить, вирішив Гротефенд, цар, про якого тут йдеться, не був сином царя – це був сам засновник династії Дарій, син Гістаспа. А так як Дарій був батьком Ксеркса, то у Гротефенда в руках були звукові значення для знаків, що входили в імена „Гістасп”, „Дарій”, „Ксеркс” – початок розшифровки клинопису розпочався.
Комбінаторика дозволила прочитати і крито-мікенське лінійне письмо. Перші надійні основи розшифровки цієї писемності заклала Аліса Д. Кобер, яка захистила у 1932 р. докторську дисертацію по математиці у Колумбійському університеті. Поряд з дослідженнями по чистій математиці вона багато сил приділяла розшифровці давніх писемностей. Вивчивши знаки критського письма, Аліса встановила, що це письмо складається зі складів. Далі вона помітила, що в текстах, котрі вона досліджує деякі слова зустрічаються у трьох різних формах, які відрізняються одна від одної декількома останніми знаками. А далі вона почала складати „лінгвістичні рівняння” для складів, що дозволили їй знайти склади з однаковими приголосними, але з різними голосними, і однаковими голосними, і різними приголосними. В результаті Кобер отримала координатну сітку, в якій замість осей координат стояли номери голосних і приголосних літер. У цієї сітки був лише один недолік – ніхто не знав, які саме голосні та приголосні формують цю систему координат.
Лише через два роки після смерті дослідниці молодий англійський архітектор Майкл Вентріс, розширюючи її координатну сітку, спробував вгадати значення деяких голосних – число голосних менше числа приголосних, і розбір краще починати з них. Одна із спроб закінчилася вдало – текст заговорив на мові, досить нагадувавши грецьку. Але це не була класична грецька мова „Іліади” та „Одіссея”, а грецька мова більш ранньої епохи. Вентрису допоміг завершити розшифровку видатний знавець ранньої грецької мови Чедвік. Використовуючи імена царів та списки географічних назв, дослідники розшифровували один склад за іншим. А потім почалася швидка розшифровка – три десятки знаків отримали своє значення. Це був повний тріумф комбінаторного підходу, що був заснований наступним методом, сформульованим Вентрисом: „при спробі дешифрувати документи на незнайомій мові, що були написані невідомим листом, перший крок складається в отриманні тих фактів, які самі даються в руки при розгляді наявних документів. Суть другого кроку у тому, що дослідник шляхом ретельного аналізу і логічної дедукції виявляє, які висновки можна зробити з цих основних фактів”.
При розшифровці буквеної писемності виявляється дуже важливим розділення знаків, що означають голосні літери, від знаків, що означають приголосні. І тут на допомогу приходить комбінаторика. Радянський учений В. В. Шеворошкін заснував метод, що був оснований на комбінаторному порівнянні частоти різних поєднань пар знаків. Добре відомо, що у мовах голосні та приголосні літери певним образом чергуються одна з одною. Це дозволяє розділити усі знаки на дві групи так, що, як правило, знаки однієї групи межуються в тексті зі знаками іншої групи. Тоді знаки, що входять в меншу групу, будуть означати голосні, а ті що входять в іншу групу, - приголосні. Цей метод дав досліднику ключ до читання карійських написів.