Теоретико-ймовірнісні моделі розрахунку ринкової вартості основних типів цінних паперів (стр. 3 из 3)

P* (p₁ = ) = р* = .

Існуємінімальнийсамофінансований(С_N, f_N)-хеджH* = (, 0пN) = (, , 0пN)такий, що

беретьсязрозкладу:

Y_n = ,

іприцьомузначеннякапіталувмоментчасу t =nдорівнює

= (1 + a)^n-N E*(f_N/F_n) .

Розглянемотеперчастковийібільшпростийвипадок, колифункціяплатежівf_Nзалежитьневідвсієї " траєкторії " S₀ , S₁ , ... , S_N,алишевідвартостіакціїS_Nвмоментвиконанняопціону, тобтоf_N=f(S_N). Наприклад, дляЄвропейськогоопціонукупівлі

f_N=(S_N - k)⁺ = max (S_N - k , 0),

адлявідповідногоопціонупродажу

f_N=(k - S_N)⁺ = max (k - S_N , 0) ,

деК —договірнавартість, щоїїобумовленовмоментпридбанняопціону, ізаякоювмоментNбудутькупуватисяабопродаватисяакції. Вцьомувипадкуможна, задопомогоюбіноміальногорозподілу, безпосередньопідрахуватиЕ*f_Nі, такимчином, спроститиформулусправедливоїціниопціону:

C_N= (1+a)^-N E*f_N .

Сформулюємовідповіднийрезультатбездоведення. Розглянемофункцію

F_n(x,p) = f( x (1+)^k (1+)^n-k) p^k(1-p)^n-k (5.4)

(—цечислокомбінаційзnпоk, , = 1).

Теорема 5.2.ДляопціонуЄвропейськоготипузфункцієюплатежівf_N=f(S_N)маютьмісценаступнітвердження:

1.Справедливацінаопціонудорівнює

C_N=(1+a)^-NF_N(S₀,P*),

дер*= ;

2.Існуєсамофінансованиймінімальнийхедж

=( , )=( , , ) ,

причому

= ;

3.Капітал X^ вмоментп, 0 <, п < Nдлямінімальногохеджудорівнює

=(1+a)^n-N F_N-n(S_n , p*) .

Теорема 5.3. СправедливацінаC_nЄвропейськогоопціонукупівлізфункцієюплатежів f(S_N) = (S_n - К)⁺ дорівнює:

1. C_N=S₀ B(k₀ , N , p) - K(1+a)^-N B(k₀,N,p*) ,

деk₀=1+ , якщо ;

2. C_N= 0 , якщоk₀ > N .

Встановимотеперзв'язокміжсправедливоюціноюC_NрозглянутоговищеопціонукупівлііціноюстандартногоЄвропейськогоопціонупродажузфункцієюплатежівf(S_N) = (K-S_n)⁺ .Дляцьогозапишемотакутотожність:

(-x)⁺ = тах(—x, 0) = max(x, 0) — x=x⁺ —х ,

звідки(К - S_N)⁺=(S_N - K)⁺ — S_N + K. ЯкщoпозначитисправедливуцінуопціонупродажучерезP_N,то

P_N=Е* (К - S_N)⁺ (1 + а)^-N = (1 + а)^-N [E* [ (S_N - K)⁺ -S_N] + К] = = (1+a)^-N K + C_N- (1 +a)^-N E*S_N .

ОскількиS_N= S₀ (1+p₁) (1+p₂) ... (1+p_N), тозважаючинанезалежністьіоднаковурозподіленістьвипадковихвеличинр₁,р₂,...,p_Nмаємо, що

статочно

P_N=(1+a)^-N K + C_n - S₀ .

Цюрівність,щопов'язуєсправедливіціниопціонівкупівлітапродажу, називаютьпаритетом "колл-пут" (купівлі-продажу).

6. Прикладироботизопціонами

НехайS_n, 0 n N —цевипадковаеволюціявартості1000доларівСША (USD), щовимірюєтьсявукраїнськихгривнях (Грн). НехайS₀=5400гривеньівмоментn = 1цінаможедорівнювати: S₁ =

ТодіS₁ =S₀(1+p₁),звідки1+p₁ =, p₁ = - 1 , тобтовипадковавеличинар₁можематидвазначення:

p₁ =

Нехайбанківськийрахунокнезмінюється: В_п =B₀= 1,а = 0 (зфінансовоїточкизоруцеозначає, щобанкненараховуєпроцентівнавнесокінеберепроцентівзапозику).

1.Розрахуноксправедливоїціни.НехайN = 1, К = 5400Грн, f(S₁) = (S₁ - K)⁺ = (S₁ - 5400)⁺=max(S₁-K,0).Цеозначає, щоприпідвищеннікурсудоларапокупецьЄвропейськогоопціонукупівліодержить5700 — 5400 = 300Грн, a припадіннікурсу

f(S₁)=max(0,5200-5400)=0, тобто

дохід =

Видно, що , .

Томуймовірністьр* = .

Якщоприпустити, щоP(p₁=3/54)=p*=2/5, P(p₁=-1/27)=3/5,тосправедливацінаопціонудорівнює:

= 120 Грн

2. Розрахунокхедж-стратегіїінвестора.Вданомувипадкуінвестор — цепродавецьопціонукупівлі. Якщосправедливуцінурозрахованозаймовірністюр*,товпочатковиймоментчасуінвестородержаввідпокупцясумув120 Грн, іцейогопочатковийкапіталX₀.

Тобто, X₀ = 120, = 0, В₀ = 1, S₀ = 5400, .Передмоментомчасуn = 1продавецьповиненперетворитисвійпортфель (,) впортфель (,) такимчином, щобпісляоголошеннязначеннябулабможливістьвиконатиумовиконтракту, тобтозаплатитигрошіпокупцюіповернутиборг (боргвідповідаєвід'ємнимзначенням, якщоборгє). Підрахуємотепер, , щовідповідаютьмінімальномусамофінансованомухеджу, заформуламитеореми 5.2 (п.2). Одержимо: = .

ОскількиX₀ = B₀ + S₀іВ₀ = 1, томожназнайти = X₀ -S₀ = = 120 - 3240 = -3120. Від'ємністьвеличини = -3120означає, щоінвестор (тобтопродавецьопціону) берепозикуврозмірі3120 Грн.Такимчином, вінмаєХ₀ -В₀ = 120 + 3120 = 3240 Грн.

Розглянемотепер, щовідбуваєтьсяпіслямоментуN = 1, колибулооголошеноновийкурсдолара. Можливідваваріанти (взв'язкузпопереднімиприпущеннями):

а) курсдоларапіднявся(p1 = = 1/6), тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USDдорівнюють5700 Грн. Вцьомувипадкуінвесторповиненвиплатитипокупцюсумуврозміріf(S1)= mах(0, 5700-5400) = 300 Грн. I вінсправдіможецезробити, оскількийогокапіталвмоментчасуN = 1дорівнює

Х₁ =B₁ +S₁ = -3120 + (3/5)-5700 = -3120+3420=300 Грн.ТобтокапіталS₁ =3240 Грнєдостатнімдлясплати300 Грнпокупцюіповерненняборгув3120 Грннабанківськийрахунок;

б) курсдоларазменшився(р₁ = = -1/27),тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USDдорівнюють5200 Грн. Вцьомувипадкуінвесторнічогонесплачуєпокупцю, томущоf(S₁)=mах(0,5200-5400) = 0, алеповиненповернутиборгв3120 Грннабанківськийрахунок. Вінзновужтакиможецезробити, оскількийогокапіталдорівнює

Х₁ =B₁ + S₁ = -3120 + (3/5) - 5200=-3120+3120=0.

Тобтоінвестородержує. S₁ = 3120 Грні, повернувшитакийсамийборг, маєнульовийкапітал.

Підсумки

Маючидвізв’заниходназдругоюстатттіфінансовихактивів - акціїтаопціонинаціакції, миможемовстановитибезрисковухеджуванупозицію. Коливанняціннаодинфінансовийактивбудутькомпенсовуватисьпротилежнимиколиваннямицінинаінший. Хеджуванапозиціяможебутивстановленазадопомогоюкупівліакцій (таїхтривалогозберігання) тапідписанняопціоннихдомовленостей. Якщовартістьакційпіднімається, мивиграємовтакзваній «довгійпозиції», тобтовакціях. Мивтрачаємонаопціонах, якімипідписали, боціна, якумиповиннізаплатитизаакціїдлятого, щобнадатиїхособі, якавикористовуєопціон, вища, ніжцінавмоментпідписанняопціону. Якщоцінаакційпадає, стаєтьсязворотнє. Мивтрачаємовнашій «довгійпозиції», алевиграємонапідписаномунамиопціоні.

Такимчином, якщотриматиіакціїіопціони, коливанняціниакційкомпенсуютьсяколиваннямивартостіопціонів. Якщозробитицеграмотно, тозагальнапозиціяможестатисяпрактичнобезризиковою. Вринковійрівновазікоженочікуєотриманнябезризиковогорівняначіткохеджованупозицію.

Упроцесіаналізупохіднихфінансовихінструментівшироковикористовуютьсярізноманітніобчислювальніметоди. Безвідповідногоматематичногоінструментаріюпрактикоюнеможливооцінитивартістьцихактивів; нерозуміючичіткопринципівфінансовихрозрахунків, неможливоправильновизначитивплив, якийздійснюєтьсяопераціямизпохіднимифінансовимиінструментаминаефективністьуправлінняпортфелемактивів.

7.Використаналітература

-БондаревБ.В., ШуркоИ.Л. Финансоваяматематика. -- Донецк, Кассиопея, 1998. -- 164 с.

-ШиряевА.Н. Онекоторыхпонятияхистохастическихмоделяхфинансовойматематики // Теориявероятностииееприменения. 1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.5-22

-ЗаконУкраїнипроцінніпапериіфондовубіржу // СD:«Лігапрактик»

-Дж.К. ВанХорнОсновыуправленияфинансами. -- Москва, Финансыистатистика, 1996. -- 800 с.

-ЛеоненкоМ.М., МішураЮ.С., ПархоменкоВ.М., ЯдренкоМ.Й. Теоретико-ймовірніснітастатистичніметодивеконометрицітафінансовійматематиці. – Київ, Інформтехніка, 1995. -- 380 с.

-КолесникВ.В. Введениеврынокценныхбумаг. -- Киев, А.Л.Д. 1995. -- 176 с.

-ШиряевА.Н., КабановЮ.М., КрамковД.О.,

МельниковА.В. Ктеориирассчетовопционов. I. Дискретноевремя // Теориявероятностииееприменения.

1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.23-79