rp= [R-(FC+VC)*(1+ a’ * r’)]/ [(FC+VC)*(1- a’)] (2.9)
можна привести ще до більш зрозумілого для осмислення вигляду:
rp= [(re-a’r’)/[1- a’] (2.20)
rp= re+a’/(1-a’)*( re - r’) (2.21)
Позначимо FC+Rc через K. В формулі (2.7) окремо згрупуємо члени з r f*af, av* r v розділимо числівник та знаменник на K, а член -( Ravr v+ FCr faf) з числівника розділимо та помножимо на (Rcav r v + FCr f*af):
rp=([[R(1-c)-FC]/K]-[[Rcavrv+FCrfaf]/ /[Rcav+FCaf]]*[[Rcav+FCaf]/K])/([FC+Rc]/K[Rcav+FCaf]/K)
Зробивши підстановки:
R(1-c)-FC]/K= re -(формула (2.16))
[Rc avr v+FCr faf]/[ Rcav+FCaf] = r’ -(формула (2.2))
[Rcav+FCaf]/K=a’ - (формула (2.3)) Ви отримуєте (2.20)-(2.21).
Формула (2.21) дає ясну умову допустимості використання запозиченого капіталу:
r’< re (2.15)
Видно, що ця умова не залежить напряму від середньої частки запозиченого капіталу a’.
Теорема 1.2. доведена.
Теорема 1.3. Оптимальність структури капіталу.
Структура капіталу a’ оптимальна при виконанні умови:
dr’(a’)/da’*(1-a’)=( re- r’(a’)). (2.16)
При малих значеннях dr’(a’)/da’ та r’(a’) в наслідок зміни зовнішніх умов оптимальна структура капіталу змінюється наступним чином:.
a’*(dr’(a’)/da’, r’)=[1-sqrt(1-4(re- r’)/r’]/2 (2.17)
де у формулі (2.14) dr’(a’)/da’ та r’ є змінені dr’(a*’)/da*’ та r’(a*’) під дією зовнішніх умов, наприклад, пониження відсоткової ставки центрального банку.
Теорема 1.3. дає умову оптимальності структури капітала та правило для оцінювання зміни оптимальної структури капіталу при змінах, наприклад, підвищенні відсоткової ставки.
Доведення теореми 1.3.
Умова оптимальності структури капітала rp(a’)®max, можна переписати як drp(a’)/da’=0. Підставивши rp= re+a’/(1-a’)*( re - r’(a’)), Ви отримуєте:
drp(a’)/da’=- dr(a’)/da’*a’/(1-a’)+( re- r’(a’))* d[a’ /(1-a’)]/ da’=0.
d[a’ /(1-a’)]/ da’=(1-a’)-1+a’ /(1-a’)-2
Тому
-dr(a’)/da’*a’/(1-a’)+( re- r’(a’))* d[a’ /(1-a’)]/ da’=-dr(a’)/da’*a’*(1-a’)-1+ +( re- r’(a’))*(1-a’)-2 =0.
Домноживши ліву та праву частини на (1-a’)-2 ви отримуєте
dr(a’)/da’ *a’/(1-a’)£ ( re- r’(a’)) (2.18) Прийнявши r’(a’) та dr(a’)/da’ за константи можна в нульвому наближенні оцінити оптимальну частку запозиченого капіталу a’*. Для цього, розділивши ліву та праву частини нерівності (2.18) на dr(a’)/da’, перепишіть його як квадратне рівняння відносно a’:
0£ a’2 -a+( re- r’(a’))[ dr(a’)/da’]-1(2.19)
Нерівність (2.19) виконується як рівність при a’1=2-1-(1-4*( re- r’) r’-1)1/22-1 та при
a’2=2-1+(1-4*( re- r’) r’-1)1/22-1. Взявши за оптимальну структуру капітала капітала a’* менший рівень a’1 як той, що має економічний смисл, Ви отримуєте: a’*=2-1-(1-4*( re- r’(a’*)) r’-1)1/22-1.
Теорема 1.3. доведена.
Податковий щит
Нехай тепер Ви повинні платити tp відсотків податку з прибутку.
Тоді:
rp= Прибуток*(1-tp)/Власний капітал
Перепишіть рівняння чистого прибутку, після сплати податку на прибуток:
p= [R*(1-c*(1+ av* r v))-FC*(1+r f*af)]*(1-tp)
В категоріях середньої частки запозиченого капіталу a’ та середньої еффективної відсоткової ставки прибуток має наступний вигляд:
p= [R*(R*c+FC)*(1+r’*a’)]*(1-tp)
Відділіть окремо виплачувані віцдсотки:
p= [R-(R*c+FC)] *(1-tp)-(R*c+FC)*r’*a’*(1-tp)
Відділіть окремо виплачуваний по кредитам віцдсоток (Rc+FC) r’*a’:
p= [R-(R*c+FC)] *(1-tp)-(R*c+FC)*r’*a’+tp*(R*c+FC)*r’*a’
Оскільки відсотки по кредитам Ви виплачуєте до сплати податку на прибуток, то з’являється додатковий позитивний член tp*(R*c+FC)*r’*a’. В результаті взаємодії виплати податку на прибуток та відсотків по кредитам відбувається реальне зменшення відсотків по кредитам в (1-tp) раз. Виникаючий додатковий позитивний фінансовий потік в розмірі tp*(R*c+FC)*r’*a’ називається податковим щитом (tax-shield).
Визначення11: Податковий щит.
Податковий щит це є той додатковий виграш pt, який Ви отримуєте через те, що виплачуєте відсотки по кредитам до сплати податків, а не після. Величина податкового щита pt рахується по формулі:
pt=tp* r’*B, (2.20)
де B - загальна кількість запозиченого капіталу; r’- середня виплачувана по кредитам відсоткова ставка, tp - податкова ставка.
Податковий щит приводить до заміни еффективного відсотка по кредитам з r’ на (1-tp)* r’, за рахунок цього і виникає додатковий фінансовий поток величиною pt=tp* r’*B.
Норма прибутку r p збільшується на tp*(R*c+FC)/[(R*c+FC)] *(1-a’)]. Таким чином норма прибутку на власний капітал після сплати податків стає рівною:
rp=[R-(Rc+FC)*(1+r’*a’)]*(1-tp)/ [ (Rc+FC)*(1- av)]. (2.21)
Виділити норму прибутку чисто власного капіталу до сплати податків re,
re= [R*(1-c)-FC]*[ (Rc+FC)]-1, a’ та r’:
rp= (re-r’*a’)*(1- a’)-1 , re³r’*a’. (2.22)
Якщо re<r’*a’, то прибуток стає від’ємним, податок з нього не береться і формула (2.22) переходить в формулу:
rp= (re-r’*a’)*(1- a’)-1 , re<r’*a’. (2.23)
Приклад3: Норма прибутку власників акцій при різних податкових ставках.
Розглянемо приклад з виручкою R в $5000, фіксованими витратами FC в $1500, маржинальними витратами в 60%, частка запозиченого капітала a’ в 45%. re рахується по формулі (2.16) і дорівнює:
re= ($5000*(1-60%)-$1500)/($5000*60%+$1500)=11%, норма прибутку власників акцій та облігацій рахується по формулі (2.22) при re>r’*a’ та формулі (2.23) при re<r’*a’.
Таблиця4: Залежність норми прибутку власників акцій від відсоткової ставки по кредитам при різних податкових ставках.
| r/ t | 0% | 10% | 20% | 30% | 40% | 50% | 60% | 70% | 80% |
| 0% | 20% | 18% | 16% | 14% | 12% | 10% | 8% | 6% | 4% |
| 5% | 16% | 15% | 13% | 11% | 10% | 8% | 6% | 5% | 3% |
| 10% | 12% | 11% | 10% | 8% | 7% | 6% | 5% | 4% | 2% |
| 15% | 8% | 7% | 6% | 6% | 5% | 4% | 3% | 2% | 2% |
| 20% | 4% | 3% | 3% | 3% | 2% | 2% | 2% | 1% | 1% |
| 25% | 0% | 0% | 0% | 0% | 0% | 0% | 0% | 0% | 0% |
| 30% | -4% | -4% | -4% | -4% | -4% | -4% | -4% | -4% | -4% |
В першому рядку таблиці приведені різні податкові ставки, в першому стовбчику - кредитні відсотки, в таблиці - норма прибутку власників акцій, що обраховується по формулам (2.22)-(2.23).
При виконанні умови re<r’*a’ податковий щит перестає працювати, оскільки прибуток стає від’ємним і підприємство перестає платити податок на прибуток (при від’ємному прибутку подаиок на прибуток перетворився б на дотацію). Налоговий щит - є зменшення виплачуваного податку на прибуток. Зникнення податку на прибуток в наслідок відсутності прибутку призводить до зникнення податкового щита.