Міністерство освіти і науки України
Київський державний торговельно-економічний університет
Коломийський економіко-правовий коледж
Реферат
З дисципліни „Вища математика”
Розділ: 4 „Функціїбагатьохзмінних”
Натему:
„Опуклістьтагнучкістьфункції. Екстремумифункції. Необхіднатадостатніумовиекстремуму. Методнайменшихквадратів”
Виконала:
Студентка групи Б-13
Комар Ірина
Перевірив
Викладач
Лугова Л.Б.
Коломия 2003
План
1. Найбільше та найменше значення функцій у заданій області.
Контрольні запитання
1. Що називається екстремумом функції.
2. Яка необхідна умова екстремуму функції.
3. Яка точка називається стаціонарною.
4. Які достатні умови екстремуму функції
Література
1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с.
Означення. Нехай функція f(x;y) визначена в деякому околі точки(a,b).Точка(a,b)називається точкою мінімуму (максимумом) цієї функції в точці (a;b), якщо існує такий окіл точки (a;b), що для всіх точок (x;y) з цього околу, відмінних від точки (a;b), виконується нерівність f(a;b)<f(x;y)( f(a;b)<f(x;y)).
Точки мінімуму і максимуму функції називають її точками екстрему, а максимум та мінімум функції в точці – її екстремумом у цій точці.
Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо точка (a;b) є точкою екстремуму функції f (x;y) і якщо в цій точці існують частинні похідні функції по змінних x та y, то ці похідні дорівнюють 0: , .
Доведемо, наприклад, що . Для доведення зафіксуємо значення змінної y, поклавши y=b. Дістанемо функцію z=f(x,b) однієї змінної х, що має в точці х=а екстремум і похідну, яка є частиною похідної . Згідно з теоремою Тейлора ця похідна функції однієї змінної дорівнює 0. Таким чином, . Рівність встановлюється аналогічно.
Точка простору R2, в якій існують обидві частинні похідні якоїсь функції двох змінних, кожна з яких дорівнює нулю, називається стаціонарною для цієї функції.
Теорема стверджує, що всі точки екстремуму функції двох змінних, яка має частинні похідні по обох змінних в деякій області простору R2, утворюють підмножину множини її стаціонарних точок.
Теорема (достатні умови екстремуму). Нехай функція f (x;y) в деякому околі своєї стаціонарної точки (a;b) має неперервні в цій частині похідні другого порядку.
Якщо , то точка (a;b) є точкою екстремуму функції f (x;y), при чому точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо . Якщо ж , то точка (a;b) не є точкою екстремуму функції f (x;y)
Приклад:
Дослідити на екстремум функції.
Ця функція визначена і має неперервні всі частини похідні першого та другого порядків в R2. Її частинні похідні першого порядку мають вигляд.
Стаціонарні точки функції визначаємо з системи
, яка рівносильна системі
Отже, досліджувана функція має чотири стаціонарні точки: (-2;1), (2;-1), (-2;-1),(2;1). Знаходимо частинні похідні другого порядку:
.
Обчисливши значення
Дістанемо
Таким чином, точки (-2;-1),(2;1) є точками екстремуму заданої функції. Оскільки точка (-2;-1) є точкою максимуму функції , а точка (2;1) – точкою мінімуму. Залишилося знайти екстремуми: максимум функції f (x;y) у точці (-2;-1) становить f (-2,-1)=21, а мінімум у точці (2;1) – f (2,1)=-19