Приблизно через сто років теорія визначників вийшла далеко за межі алгебри й стала застосовуватися у всіх математичних науках. Теорія визначників застосовується в операціях, що пов’язані, наприклад з тензорними, векторними або матричними числами. В зв'язку з цим, методу Крамера в наданій роботі віддається перевага перед іншими методами.
1.2.3.1. Визначники та їх властивості
Розглянемовизначники на прикладі визначника третього ступню:
= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a1b3c2 – a2b1c3 – a3b2c1. (4)
Вираз (4) можназаписати по-іншому:
(5)
Вирази a1, b1, c1називаються елементами визначника, а вирази
– мінорамиелементівa1, b1, c1. В загальному випадкуміноромбудь-якого элементуназиваєтьсявизначник, що одержується з наданого виразника викреслюванням тієї строки і того столиця, на перехресті яких стоїть елемент.
Алгебраїчним доповненням елементу називається його мінор, що помножений на коефіцієнт (-1)m+n, де m, n– номери строки та стовпця, на перехресті яких стоїть елемент.
Визначникимають ряд властивостей.
1. Величина визначника не зміниться, якщо кожну строку замінити стовпцем з тим же номером.
2. При перестановці якихось двох строк або якихось двох стовпців абсолютне значення визначника зостанеться попереднім, а знак змінюється на протилежний.
3. Визначник, у якого елементи однієї строки (або стовпця) відповідно пропорційні елементам другої строки (стовпця), дорівнює нулю.
4. Спільний множник всіх елементів однієї строки (або одного стовпця) можна виносити за знак визначника.
5. Якщо кожний елемент якогось стовпця (строки) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників: в одному замість кожної суми стоїть тільки перший доданок, в другому – тільки другий (інші елементи в обох визначниках ті ж самі, що й в наданому).
6. Якщо до усіх елементів якогось стовпця додати доданки, що пропорційні відповідним елементам другого стовпця, то новий визначник дорівнює старому. Те ж саме для строк.
Знання властивостей необхідно для того, щоб простіше й швидше обчислювати визначник. Зокрема, розклад визначника бажано проводити по елементах тієї строки або стовпця, де є нуль. Тоді яким би не був громіздким мінор, але помножений на елемент, що дорівнює нулю, він даси добуток, що також дорівнює нулю. Виносячи за знак визначника спільні множники, переставляючи строки, стовпці, слід прагнути створити такий рівносильний визначник, в якому максимальне число елементів дорівнює нулю або одиниці.
1.2.3.2. Рішення системи рівняньза допомогою визначників
Система рівнянь (1) маєза методом Крамера наступне рішення, що виражається в загальному вигляді:
,
де - визначник системи;
- визначники при невідомих параметрах системи.
Визначники третього порядку обчислюються за формулою (4). Якщо необхідно вирішити систему рівнянь більш високого порядку методом Крамера, то визначникибільш високого порядку розкладають на добуток елементів якоїсь строки або стовпця (краще тієї строки, де кілька елементів – нулі) на їх алгебраїчне доповнення. Потім мінори алгебраїчних доповнень(тобто визначники більш низького порядку) знову розкладають вище згаданим способом. І так продовжують до тих пір, поки вихідний визначник системи буде виражений у вигляді алгебраїчної суми добутків елементів на визначники третього порядку, який обчислити нескладно, використовуючи формулу (4).
Приклади рішення систем лінійних рівнянь за методом Крамера будуть викладенідалі в главі 2.
2. Апроксимація результатів експериментуфункціями різного вигляду
В загальному вигляді поставлену в цій главі задачу можна представити так.
Використовуючи комп'ютерну програму AdvancedGrafer, зробимо випадковий набір „експериментальних” точок в координатахx, іy(див. рис.2) і з'єднаємо їх ломаною прямою 1. Якщо прийняти до уваги те, що „експериментальні результати” отримані з обмеженою точністю, то для їх апроксимації доцільно застосовувати метод найменших квадратів (МНК). Программа AdvancedGrafer автоматично апроксимує ці „результати” функціями восьми типів. Для нашого випадку неможлива апроксимація функціями гіперболічного, логарифмічного, показниково-степінного та експоненціального типів (згідно з класифікацією, що застосована в програмі).
Графіки, що надані на рис.2, апроксимують за допомогою МНК „експериментальні результати” функціями лінійного (графік 2) і поліноміального (графіки 3-6) типів. Бачимо, що в поліномах при зростанні степеню від 2 до 5 (графіки 3-5), а потім до 9 (графік 6), точність апроксимації зростає. Але навіть функція:
y = 3,93-10-4-x9 +0,02-x8-0,32-x7+3,13-x6-17,75-x5+57,94x4-102,28x3+83,59x2-20,31x+2,00
на ділянці 4 ≤ х≤ 7 не збігається з „експериментальними результатами”, а на ділянці
8 ≤ х ≤ 10, скоріш за все, зовсім непридатна.
У зв'язку з цим, необхідно уточнити задачу: в наданій роботі показано, як можна визначати вигляд апроксимуючих рівнянь (функцій) для випадків, коли апроксимуюча крива проходить крізь експериментальні точки
Метод найменших квадратів в наданій роботі не розглядається
Слід відмітити, що обсяг обчислень у прикладах, що надані нижче, менший, ніж в МНК, тому методику, що розглядана в цій главі, при малій кількості експериментальних даних і невисоких вимогах до точності апроксимації можна застосовувати замість МНК.
Рис.2. Графічна апроксимація експериментальних даних:
1 – «експериментальні дані»;
2 – апроксимація лінійною функцією;
3 – апроксимація поліномом другого степеню;
4 – апроксимація поліномом третього степеню;
5 – апроксимація поліномом четвертого степеню;
6 – апроксимація поліномом максимально можливого,
дев'ятого степеню.
2.1. Апроксимація лінійною функцією двох аргументів
Розглянемо наступну задачу. Для навчання у ліцеї знадобилися зошити і ручки. Вартість першої купівлі 6 зошитів і 2 ручок склала С1 = 4,8 грн. Друга купівля 8 зошитів і 3 ручок коштувала С2= 6,8 грн. За звичаєм запитують, яка вартість одного зошита (Т) та однієї ручки (Р)?
Поставимо більш практичне питання: яка вартість купівлі будь-якої заданої кількості зошитів і ручок?
За життєвим досвідом можна припустити, що вартість купівлі буде визначатися формулою:
| , | (6) |
де – кількістьвідповіднозошитів і ручок в черговійкупівліприладів для навчання.
Для визначення Ті Р складемо систему двох рівнянь:
| (7) |
За правилом Крамера
Рівняння (6) приймає вигляд:
На рис.3 показана плоска поверхня, що описується лінійним рівнянням з двома невідомими (6). Поверхня побудована за допомогою однієї з програм Mathcad 2000 [4].
Рис.3. Графік функціїC = 0,4x +1,2y.
2.2. Апроксимація показниковою функцією
Однак не обов’язково шукати відповідь на поставлене питання у вигляді рівняння (6). Припустимо, що рішення бажано бачити у вигляді функції:
| , | (8) |
де А – сталий коефіцієнт.
Приведемо рівняння (8) до лінійного вигляду методом логарифмування обох часток, беручи за основуе:
| (9) |
Введемо позначення:
Таким чином, маємо лінійну функціюз трьома невідомими:
| (10) |
Щоб визначити три невідомих коефіцієнти з рівняння (10), треба мати систему трьох рівнянь. Мусимо зробити ще й третю купівлю, наприклад, двох зошитів і однієї ручки. Зрозуміло, що ціна купівлі складе С3= 2 грн.
Тоді маємо наступну систему рівнянь:
| (11) |
Для якої:
Таким чином, для рівняння (8) одержуємо:
,
а саме рівняння (80 приймає вигляд::
, (12)
з графічною інтерпретацією, що надана на рис.4.
Перевірка вартостей С1...С3 за допомогоюрівняння (6) показує, що максимальна похибка в розрахунках складає 3 копійки і пов’язана з тим, що при рішенні системи рівнянь проміжні результати заокруглювали з точністю до 4-го знаку після коми.
2.3. Апроксимація квадратним багаточленом
Зробимо четверту купівлю 4-х зошитів і 3-х ручок на суму, звичайно,
Маючи чотири незалежні купівлі, ми можемо знайти відповідь на наше питання у вигляді функціїCдвох аргументів і чотирьох інших параметрів, що являються константами і мусять бути визначеними.
Рис.4. Графік рівняння.
Нехай ця функція має вигляд квадратного багаточлена:
(13)
Тоді за результатами 4-х купівель для функції (13) одержимо 4 значення , тобто наступну систему:
| (14) |
Її рішення шукаємо у вигляді:
;
Обчислимовизначник, розкладаючи його за елементами 1-го стовпцю:
Далівизначникибудемо розкладати за елементами 4-го стовпцю з наступним їх обчисленням:
Наразі функція (13) прийме вигляду:
| С = 0,1244х2 + 0,5778y2 – 0,3644ху + 2,3822, | (15) |
Графік функції (15) наданий на рис.5.