Аналіз показує, що функцією (15) можна користуватися при розрахунках великих партій купівель зошитів та ручок (при x= 8 іy= 3 похибка розрахунків складає 1 копійку). Для розрахунків ціни малої кількості ручок та зошитів функція (15) непридатна, тому що, наприклад, при x= 2 іy= 1 похибка складає 79 коп., тобто [(2-0,79)/2]x100%=61%.
2.4. Апроксимація показниково-степінною функцією
Відмовимося від розрахунків за формулою (8) та виберемо іншу функцію, наприклад:
| (16) |
Приведемо функцію (16) до лінійного вигляду логарифмуванням обох часток, беручи за основуе:
ln C = ln R + S ln x +V ln y + (x + y) ln u
Введемо позначення:
lnR = r; lnu = l
Рис.5. Графік функціїС = 0,1244х2 + 0,5778y2 – 0,3644ху + 2,3822.
За аналогією з вчинками над рівнянням (7) складемо наступну систему рівнянь, що базується на 4-х купівлях зошитів і ручок:
або
(17)
В результаті рішення системи (17) рівняння (16) прийме вигляд:
| (18) |
Графік функції (18) наданий на рис.6.
Рис.6. Графік функції.
Слід відмітити:
- параметр u = 0,9877~1 показує, що спільний вплив аргументівxіyпрактично відсутній;
- рівняння (18) непридатне для обчислюваньвартості купівлі тільки одного з приладів для навчання в ліцеї (чи то ручок, чи то зошитів), тому що при x = 0 абоy = 0 С = 0;
- оскільки при купівлях, як правило,x ≥ 1 іy≥ 1, крім того,SіVзадовольняють нерівностіV > S (V > 0, S > 0), то з наданого вище випливає, що аргумент yбільш суттєво впливає на зміну вартостіC, ніж аргумент x.
Таким чином, тип рівняння (16, 18) виявився не зовсім придатним для нашої задачі, хоча дозволяв з більшою точністю прогнозувати вартість купівель всередині діапазону [xmin , xmax] і [ymin, ymax].
3. Вибір функцій для апроксимаціїекспериментальних даних
В загальному випадку вибір придатного вигляду функції, що найбільш точно описує результати експерименту, математично обґрунтовується і являється досить складною задачею, що виходить за межі наданої роботи.
Частіш за все дослідники використовують рівняння регресії типу:
(19)
де n – натуральне число, n>0.
Вибір таких рівнянь (19), як правило, математично не обґрунтовується, а його вірність доказується невеликими розбіжностями даних, що обчислюються, з результатами експерименту.
Для більшості випадків існують формули, що виведені теоретично, і задача зводиться до того, щоб на підставі результатів експерименту знайти коефіцієнти, що входять в формулу.
Існує емпіричний спосіб підбора функцій. За експериментальними даними будують графік і за його виглядом вибирають функцію з кількох можливих [2, 3].
Для нашого випадку важливо, щоб вибрану функцію можна було б потім привести до лінійного вигляду (за допомогою зміни перемінних, логарифмування обох часток тощо). В табл..1 надані найбільш уживані емпіричні формули та заходи приведення їх до лінійного вигляду.
Однак якщо точне перетворення функції неможливе, її можна з розумним наближенням привести до лінійного вигляду шляхом розкладання, наприклад, в ряд Тейлора або Фур'є (якщо функція періодична). Такі розкладення в ряд для багатьох функцій надані в довідниках [4, 6].
Емпіричні формули для апроксимації експериментальних даних
Таблиця 3.1
| №/п | Емпірична формула | Приведення до лінійного вигляду | Лінійний вигляд емпіричної формули |
| 1. | y=axb | X=lgx, Y=lgy | Y=lga + bX |
| 2. | y=aebx | Y=ln y | Y=ln a + bx |
| 3. | y=axb+c | X=lg x, Y=lg(y-c) | Y=lg a + bX |
| 4. | y=aebx+c | Y=ln(y-c) | Y=ln a + bx |
| 5. | y=ax2+bx+c | X=x2 | y=aX+bx+c |
| 6. | y=(ax+b)/(cx+d) | Y=(x-x1)/(y-y1), тогда Y=A+Bx | y=y1+(x-x1)/(A+Bx) |
| 7. | y2=ax2+bx+c | Y=y2, X=x2 | Y= aX+bx+c |
| 8. | y=aebx+cxx | Y=ln y, X=x2 | Y=cX+bx+(ln a) |
| 9. | y=1/(ax2+bx+c) | Y=1/y, X=x2 | Y= aX+bx+c |
| 10. | y=x/(ax2+bx+c) | Y=x/y, X=x2 | Y= aX+bx+c |
| 11. | y=a+(b/x)+(c/x2) | Z=1/x, X=Z2 | y= a+bZ+cX |
| 12. | y=axbecx | Y=ln y, X=ln x, A=ln a | Y=A+bX+cx |
4. Використання апроксимуючих функційз практичною метою
Практична необхідність в апроксимуючих функціях визначається тим, для чого призначені конкретні експериментальні дані, що описуються цими функціями. В загальному випадку одержані експериментальні дані призначені для наступного їх використання в розробках наукових теорій, для практичних висновків про те чи інше явище тощо. Складаються ці дані в наступних формах:
· таблиці;
· функціональні залежності;
· графіки;
· номограми.
Вибір форми визначається складністю її утворення і ефективністю використання. Найбільш просто утворювати таблиці, трохи складніше – графіки й номограми. За відсутністю комп'ютерів найбільш складно було створювати і користуватися апроксимуючими функціями. Ефективність використання розгляданих форм зберігання засновується на правилі: треба користуватися тими формами, які видають потрібні результати за найменший термін і з необхідною точністю.
В наш час найбільш швидко й просто створювати форми зберігання за допомогою комп'ютерів і стандартних програм типу Matlab, Mathcad, MicrosoftAccess (бази даних), MicrosoftExcel (редактор електронних таблиць). При цьому табличні форми використовуються лише в тому випадку, коли принципово неможливо виявити функціональну залежність. Наприклад, перелік корисних сайтів Інтернету зберігається мною у вигляді таблиці, що виконана програмоюMicrosoftAccess. В багатьох випадках доцільно зберігання даних виконувати у формі функціональних залежностей. Наявність персональних комп'ютерів і навіть калькуляторів інженерного типу дозволяє користуватися цими формами з мінімальними витратами часу і максимальною точністю.
На мій погляд, увесь об'єм знань, що раніше зберігався у вигляді таблиць і номограм, буде апроксимований для зберігання та використання функціями вигляду, що підходить. Наприклад, у продажу є електронні довідники (компакт-диски) хімічного складу і механічних властивостей металів, в яких у вигляді функціональних залежностей зберігаються дані при кілька тисяч марок сталей і сплавів (RusSteel, WinAlloys, WinSteel).
Ще одне застосування апроксимуючих функцій – розширення знань про предмети, що вивчаються, і явища у тих діапазонах, де експеримент провести неможливо. Наприклад, по функціях, що екстраполюють температурні властивості матеріалів в областях, які близькі до абсолютного нуля градусів, розраховують життєздатність космічних кораблів у відкритому космосі.
Третій напрямок використання апроксимуючих функцій – рішення специфічних задач в різноманітних областях народного господарства. Зокрема, інтерполяція і екстраполяція використовуються в комп'ютерній графіці для масштабування та компресії зображення. Розглянемо це на наступному прикладі.
Хай є наступна таблиця довжиною в три символи:
| 1 | 7 | 5 |
З неї треба одержати таблицю довжиною 5 символів, тобто збільшити:
Нехай таблиця задає nзначень деякої функції на інтервалі [1; n] (тутn= 3) з крокомΔ = 1 (в вихідній таблиці крок завжди повинен бути цілим числом).
Таблицю з 5 символів можна одержати двома способами. В першому випадку слід збільшити довжину інтервалу, наприклад, [1; n+2] или [0; n+1], а крокΔпри цьому залишити цілим числом. Тоді невідомі значення функції за межами вихідного інтервалу можна знайти методом екстраполяції:
| 1 | 7 | 5 | " | ? | 1 | 7 | 5 | ? | " | -6 | 1 | 7 | 5 | 3 | (20) |
Але в комп'ютерній графіці колір не може задаватися від'ємним числом, тому всі від'ємні числа в одержаній таблиці (20) обнуляться. В такому випадку використовують інший спосіб. Довжина інтервалу не змінюється, а змінюється крок, котрий становиться таким, що дорівнюєΔ =n/N(n, N – відповідно вихідний та потрібний розміри таблиці), тобто Δ = 3/5. Тоді кожний символ в збільшеній таблиці (21) буде представляти значення функції на інтервалі [1; 3] з кроком Δ = 3/5. Значення f(3) відомо, значення f(3/5) інколи беруть як f(1). інші значення f(1+1/5), f(1+4/5), f(2+2/5) одержують шляхом інтерполяції:
| 1 | 7 | 5 | " | 1 | ? | 7 | ? | 5 | " | 1 | 4 | 7 | 6 | 5 | (21) |
Цей метод більш точніший і тому частіше застосовується. Для масштабування двомірної таблиці масштабують методом, що описаний, спочатку по вертикалі, потім по горизонталі та навпаки.
При стисненні зображення до визначених розмірів зменшують і зберігають зменшену матрицю, що займає менше місця в пам'яті. При виводі зображення ці зменшену матрицю збільшують, як було показано вище, до потрібних розмірів. Якщо добре підібрати розмір зменшеної матриці, то похибка зображення буде мала, а якість – більш високою.
4.1. Оптимізація технології штампування деталі „рило”
На підприємстві, де я працював влітку, у різний час з різних листів міді виготовили 4 штамповані деталі (далі – рила), з яких подальшою мехобробкою одержали кінцеву деталь „рыльце” за кресленням А-1551.005 (див. додаток 1). Для цього використовували гідропрес, який мав недостатнє зусилля для якісного штампування, не міг прижимати фланець заготівки, що обумовлювало появу гофрів на рилі і зменшення її висоти, а також був обладнаний експериментальним штампом, який не дозволяв точне центрування пуансона, матриці і заготовки (див. додаток 2).