МАРІУПОЛЬСЬКИЙ МІСЬКИЙ ТЕХНІЧНИЙ ЛІЦЕЙ
НАУКОВО-ПРАКТИЧНА РОБОТА
на тему:„Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації
експериментальних даних”
Аніщенко Євген
Керівник:Ткаченко С.Г.
Маріуполь,
2003 р.
ПЛАН
Стор.
| Вступ………………………………………………………………………………..... | 3 |
| 1. Системи лінійних рівнянь і методи їх рішення…………………………............ | 4 |
| 1.1. Системи лінійних рівнянь …………………………………………............... | 4 |
| 1.2. Методи рішення систем лінійних рівнянь…………………………….......... | 5 |
| 1.2.1. Графічний метод рішення системи лінійних рівнянь………….............. | 5 |
| 1.2.2. Метод Гаусса……………………………………………………………… | 6 |
| 1.2.3. Метод Крамера……………………………………………………………. | 8 |
| 1.2.3.1. Визначники і їх властивості……………………………………..... | 8 |
| 1.2.3.2. Рішення системи рівняньза допомогою визначників………….. | 9 |
| 2. Апроксимація результатів експериментуфункціями різного вигляду……...... | 10 |
| 2.1. Апроксимація лінійноюфункцією двох аргументів……………………..... | 11 |
| 2.2. Апроксимація показниковою функцією ………………….............................. | 13 |
| 2.3. Апроксимація квадратним багаточленом …………………………………... | 14 |
| 2.4. Апроксимація показниково-степінною функцією………………………...... | 16 |
| 3 . Вибір функцій для апроксимаціїекспериментальних даних…………….......... | 18 |
| 4. Використання апроксимуючих функційз практичною метою………................ | 19 |
| 4.1. Оптимізація технології штампування деталі „рило”...................................... | 21 |
| Висновки………………………………………………………………………………. | 25 |
| Література……………………………………………………………………………... | 26 |
| Додаток | |
| 1. Креслення А-1557.005 „Рыльце”........................................................................ | 27 |
| 2. Креслення А-1474.000 „Штамп для рыла»”..................................................... | 28 |
| 3. Раціоналізаторська пропозиція №0403............................................................. | 29 |
Вступ
В практичній діяльності людини часто виникають такі задачі, коли маючи обмежену кількість експериментальних даних, треба спрогнозувати, які наслідки слід очікувати при інших умовах експерименту над тим же об'єктом. В математиці для цієї мети широко використовують рівняння різного вигляду, які з той чи іншою похибкою моделюють поведінку об'єкта. Підбір таких рівнянь називають апроксимацією експериментальних даних. Зокрема, апроксимація усередині області одержання експериментальних даних називається інтерполяцією, а за межами цієї області – екстраполяцією.
У більшості випадків підбір підходящих рівнянь ускладнюється тим, що експериментальні дані отримані приблизно і вміщують похибку експерименту та обчислювань. Очевидно, що і рівняння, яке вибрали, не завжди забезпечує точну збіжність розрахункових даних з експериментом. Таке рівняння підбирають різними методами, серед яких найбільш популярний метод найменших квадратів (МНК). Цей метод буде розглянутий автором у наступній науково-практичній роботі.
В наданій роботі поставлено мету навчитися визначати вигляд апроксимуючих рівнянь (функцій) у випадках, коли крива або поверхня проходить скрізь усі експериментальні точки., тобто немає потреби визначати найменшу величину квадрата різниці розрахункових і експериментальних значень, як цього потребує МНК. При цьому були вирішені наступні задачі:
- вивчені методи рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь;
- досліджена методика апроксимації експериментальних даних функціями кількох змінних, яка включає приведення функцій до лінійного вигляду, складання і рішення систем лінійних рівнянь для визначення числових значень коефіцієнтів, що невідомі і входять у вибрану апроксимуючу функцію.
1. Системи лінійних рівнянь і методи їх рішення
1.1. Системи лінійних рівнянь
В наданій роботі об'єктом вивчення являються системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рівняння називається алгебричним, якщо кожна з його часток є багаточленом або одночленом по відношенню до невідомих величин. Лінійним рівнянням називають рівняння першого ступню. Степенем рівняння називають найбільший з показників при невідомому. Якщо рівняння вміщує кілька невідомих, то для кожного члена рівняння складаємо суму показників при всіх невідомих, що входять до нього. Найбільша з цих сум і називається ступнем рівняння.
Хай дана система лінійних рівнянь
Тутx1, x2, ... , xn– невідомівеличини, aij (i = 1,2, ... , m; j =1, 2, ... , n) – числа,
що називають коефіцієнтами системи рівнянь (перший індекс відповідає номеру рівняння, другий – номеру невідомої величини),b1, b2, ... , bm – числа, які називають вільними членами.
Рішенням системи рівнянь називають упорядкований набір чисел x1, x2, ... , xn,
що перетворює кожне рівняння системи в тотожність.
Вирішити систему рівнянь – означає знайти всі її рішення або доказати, що жодного рішення немає. Система, що має рішення, називається сумісною. Якщо система має тільки одне рішення, вона називається визначеною. Система, що має більш ніж одне рішення, називається невизначеною (сумісною і невизначеною). Якщо система не має рішень, вона називається несумісною.
Система, всі вільні члени якої дорівнюють нулю(b1 = b2 = ... = bn = 0), називається однорідною. Однорідна система завжди сумісна, тому що набір з n нулів задовольняє будь-якому рівнянню такої системи. Якщо хоча б один вільний член відмінний від нуля, система називається неоднорідною.
Дві системи, безліч рішень яких збігаються, називаються еквівалентними або рівносильними (збіг безлічі рішень означає, що кожне рішення першої системи являється рішенням другої системи, і кожне рішення другої системи являється рішенням першої).
Дві несумісні системи вважаються еквівалентними.
Перебудова, застосування якої перетворює систему в нову систему, що еквівалентна попередній, називається еквівалентною або рівносильною перебудовою. Прикладами еквівалентних перебудов можуть бути наступні перебудова: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом з коефіцієнтами всіх рівнянь, помноження обох часток будь-якого рівняння системи на число, що не дорівнює нулю.
1.2. Методи рішення систем лінійних рівнянь
Існує достатня кількість методів рішення систем лінійних рівнянь. Зокрема, до цих методів відносяться:
· графічний метод рішення;
· метод Гаусса (послідовне виключення невідомих);
· метод Крамера;
· метод Халецького;
· метод ітерацій;
· метод обертань;
· метод відбиття.
Далі будуть розглядані найбільш розповсюджені методи рішення систем лінійних рівнянь.
1.2.1. Графічний метод рішення системи лінійних рівнянь
Цей метод – найпростіший, але його точність залежить від точності визначення точок перехрещення кривих, що графічно описують рівняння системи.
Виберемо, наприклад, із глави 2 цієї роботи систему рівнянь (7):
В координатах y = P, x = Tрішення системи виглядає (рис.1) як точка перехрещення МпрямихP = 2,4 – 3T(1) іP = (6,8/3) – (8/3)T(2). Бачимо, що з-за близькості кутів нахилу прямих до осі х визначити координати точки Мнавіть для такого простого випадку досить важко.
Для системи з трьох рівнянь з трьома невідомими необхідно вже визначати три точки перехрещення трьох поверхонь, що збільшує похибку визначення координат. Якщо невідомих більш ніж три, метод не працює.
Рис. 1. Графіки функцій P = 2,4 – 3T (1) і P = (6,8/3) – (8/3)T(2)
в координатах y = P, x = T.
1.2.2. Метод Гаусса
Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими:
(1)
Метод Гаусса рішення системи (1) складається з наступного.
Поділимо всі члени першого рівняння на, а потім, помножив отримане рівняння на, віднімемо його відповідно із другого та третього рівнянь системи (1). Тоді з другого та третього рівнянь невідомебуде виключене, і одержимо систему вигляду:
(2)
Тепер поділимо друге рівняння системи (2) на , помножимо отримане рівняння наі віднімемо із третього рівняння. Тоді з третього рівняння невідоме буде виключене, і отримається система трикутного вигляду:
(3)
З останнього рівняння системи (3) знаходимо, підставляючи знайдене значення в перше рівняння, знаходимо.
Приклад.
Методом Гаусса вирішити систему:
Рішення: Поділив рівняння (а) на 2 , отримаємо систему
Віднімемо з рівняння (b) рівняння, помножене на 3, а з рівняння (c) – рівняння, помножене на 4.
Поділив рівняння() на -2,5 , отримаємо:
Віднімемо з рівняння () рівняння, помножене на -3:
З рівняннязнаходимоz= -2. Підставив це значення в рівняння, отримаємо y = 0,2 – 0,4z = 0,2 – 0,4 - (-2) = 1.
Наприкінці, підставив значенняz = -2 іy = 1 в рівняннязнаходимо
x = 0,5 – 0,5y – z = 0,5 – 0,5 - 1 – (-2) = 2.
Отже, отримуємо відповідь:
x = 2, y = 1, z = -2 .
Перевірка:
1.2.3. Метод Крамера
У 1750 році швейцарський математик Габріель Крамер для рішення систем рівнянь першого ступню запропонував загальні формули, що виражають невідомі через визначники, складені з коефіцієнтів системи.