Аксіом ставало все більше. Вони складалися в єдину систему. Математики піклувалися про те, щоб така система була повною, тобто щоб із неї можна було вивести будь-яку з відомих геометричних теорем. І ще про те, щоб вона була несуперечливою, тобто щоб із неї не можна було вивести суперечливих тверджень.
Узяті разом, ці аксіоми описують усі властивості основних геометричних об'єктів, усі співвідношення між ними, що використовуються при виведенні геометричних теорем. Тому і не даються означення основних геометричних понять - точки, прямої, площини. Їхні означення містяться в аксіомах геометрії.
1.6 Моделювання геометричних ситуацій
Усі геометричні поняття: точка, пряма, площина та інші – об'єкти ідеальні. Їх узагалі немає в природі. Вони існують лише у нашій свідомості. Але це не заважає нам, зображати їх на папері, ілюструвати з допомогою кульок, паличок, кусочків цупкого паперу чи предметів навколишньої обстановки. Такі прості засоби допомагають нам відкривати нові властивості, доводити нові теореми тому, що для них виконуються ті самі аксіоми, що і для абстрактних точок, прямих і площин.
Через дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну, говорить аксіома. Через дві точки, зображені у зошиті, проходить лише одна тонка лінія, проведена під лінійку. Дві бусинки можна з'єднати паличкою, і притому тільки однією.
Виконуючи ці дії, ми, як сказали б учені, моделюємо абстрактне поняття прямої. Так само моделював його древній землемір, натягуючи шнурок між кілками, так само моделює його сьогодні геодезист променем лазера.
Подібних моделей може бути як завгодно багато. І якщо для них виконуються одні і ті ж геометричні аксіоми, то для них можна застосовувати і всі наслідки з аксіом.
У цьому полягає міць математики, її велике прикладне значення. Спостерігаючи різні процеси і явища, учений намагається виділити найістотніші їх риси, найглибинніші їхні закономірності. Часто вони виявляються загальними для найширшого кола різноманітних подій, зовсім несхожих між собою зовні, але таких, що підкоряються однаковим математичним законам. У такому разі виявляється однаковою їхня математична модель, побудована на основі цих закономірностей. Це дозволяє, спостерігаючи за одним із процесів, робити висновки про його математичного двійника.
Утім, коли ми хвалимо математику, ми водночас повинні бути обережними.
Математичні поняття - є віддаленими, абстрактними. Це лише блідий силует реального світу. І тому результати будь-якої математичної теорії, яким би строгим логічними шляхами вони не були отримані, все одно вони лише наближено описують реальні процеси.
Виділяючи абстрактні поняття в чистому виді, відкидаючи другорядні деталі, математик завжди збіднює життя. У математичних міркуваннях, логічних і послідовних, немає місця ні для жарту, ні для несподіваного порівняння. Тому математична думка не вичерпує всіх проявів людського розуму.