Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.6

Задача 6. Найти производную.

6.1.

e^x + 2e^2x+e^x

y' = 1- √(e^2x+e^x+1) = 2+e^x+√(e^2x+e^x+1)-e^x√(e^2x+e^x+1)-2e^2x-e^x =

2+e^x+2√(e^2x+e^x+1) 2+e^x+2√(e^2x+e^x+1)

= (2-e^x)√(e^2x+e^x+1)+2+e^x-2e^x

2+e^x+2√(e^2x+e^x+1)

6.2.

y' = 1/4*e^2x(2-sin2x-cos2x)+1/8*e^2x(-2cos2x+2sin2x)=1/8*e^2x(4-2sin2x-2cos2x-2cos2x+2sin2x)=1/8*e^2x(4-4cos2x)=e^2x*sin2x

6.3.

y' = 1 * 1 * 2e^x = e^x .

2 1 + (e^x-3)² 4 e^2x-6e^x+10

4

6.4.

y' = 1 * 1-2^x * -2^xln2(1+2^x)-(1-2^x)2^xln2 = (2^x-1)2^xln4 = 2^x(2^x-1)

ln4 1+2^x (1+2^x)² ln4(1+2^x)³ (1+2^x)³

6.5.

e^x(√(e^x+1)+1) _ e^x(√(e^x+1)-1)

y' = e^x + √(e^x+1)+1 * 2√(e^x+1) 2√(e^x+1) =

√(e^x+1) √(e^x+1)-1 (√(e^x+1)+1)²

= e^x + e^x√(e^x+1)+e^x-e^x√(e^x+1)+e^x = √(e^x+1)

√(e^x+1) 2e^x√(e^x+1)

6.6.

y' = 2/3*3/2*√(arctge^x) * e^x = e^x√(arctge^x)

1+e^x 1+e^x

6.7.

y' = 2e^x - 2e^x = e^x

2(e^2x+1) 1+e^2x 1+e^2x

6.8.

6.9.

y' = 2/ln2*((2^xln2)/(2√(2^x-1))-(2^xln2)/(1+2^x-1))=2x/√(2^x-1)-2

6.10.

e^x(√(1+e^x)+1) _ e^x(√(1+e^x)-1)

y'= 2√(1+e^x)+2e^x(x-2) _ √(1+e^x)+1 * 2√(1+e^x) 2√(1+e^x) =

2√(1+e^x) √(1+e^x)-1 (√(1+e^x)+1)

= xe^x+2 _ 2e^x√(1+e^x)+2e^x = xe^x .

√(1+e^x) e^x√(1+e^x)( √(1+e^x)+1) √(1+e^x)

6.11.

y'= αe^αx(αsinβx-βcosβx)+e^αx(αβcosβx+β²sinβx) =

α²+β²

= e^αx(α²sinβx+β²sinβx) = e^αxsinβx

α²+β²

6.12.

y'= αe^αx(βsinβx-αcosβx)+e^αx(β²cosβx+αβsinβx) =

α²+β²

= e^αx(β²cosβx+2αβsinβx-α²cosβx)

α²+β²

6.13.

y'= ae^ax* ┌ 1 + acos2bx+2bsin2bx ┐+ e^ax ┌ -2absin2bx+4b²cos2bx ┐=

└ 2a 2(a²+4b²) ┘ └ 2(a²+4b²) ┘

= e^ax/2*(1+cos2bx)= e^axcos²bx

6.14.

y' = 1 – e^x - e^x = 1 - e^x-e^x-e^2x = 1 + e^2x .

(1+e^x)² 1+e^x (1+e^x)² (1+e^x)²

6.15.

3/6*e^x/6*√(1+e^x/3) + 1/3*e^x/3(1+e^x/6)

y'= 1 - 2√(1+e^x/3) _ 3/6*e^x/6 =

(1+e^x/6)√(1+e^x/3) 1+e^x/3

= 1- e^x/6+e^x/2+e^x/3+e^x/2 _ e^x/6 = 1- e^x/3-e^x/6 .

2(1+e^x/6)(1+e^x/3) 2(1+e^x/3) 2(1+e^x/6)(1+e^x/3)

6.16.

y' = 1 - 8e^x/4 = 1 - 2e^x/4 .

4(1+e^x/4)² (1+e^x/4)²

6.17.

e^x+ e^2x

y'= √(e^2x-1) _ e^-x = e^x(e^x+√(e^2x-1)) _ e^-x*e^x = e^x-1 .

e^x+√(e^2x-1) √(1-e^-2x) (e^x+√(e^2x-1))√(e^2x-1) √(e^2x-1) √(e^2x-1)

6.18.

e^2x

y'= 1+e^-xarcsine^x – e^-x*e^x + √(1-e^2x) =

√(1-e^2x) 1+√(1-e^2x)

= 1+e^-xarcsine^x - 1 + e^2x =

√(1-e^2x) (1+√(1-e^2x)) √(1-e^2x)

= e^-xarcsine^x

6.19.

y'= 1- e^x +e^-x/2arctge^x/2 – e^-x/2*e^x/2 _ e^x/2arctge^x/2 =

1+e^x 1+e^x 1+e^x

= 1- e^x + 1 + arctge^x/2* 1-e^x = arctge^x/2* 1-e^x .

1+e^x 1+e^x e^x/2(1+e^x) e^x/2(1+e^x)

6.20.

y'= 3x²e^x3(1+x³)-3e^x3x² = 3x⁵e^x3

(1+x³)² (1+x³)²

6.21.

y'= b *me^mx√a = e^mx .

m√(ab)(b+ae^2mx) √b b+ae^2mx

6.22.

y'= e^{3^√x}/3√x(³√x²-2³√x+2)+3e^{3^√x}(2/(3³√x)-2/(3³√x²))= e^{3^√x}

3^√x= кубический корень из х

6.23.

( e^x+2e^2x _ e^x)(√(1+e^x+e^2x)-e^x+1) _ ( e^x+2e^2x _ e^x)(√(1+e^x+e^2x)-e^x-1)

y'= √(1+e^x+e^2x)-e^x+1 * 2√(1+e^x+e^2x) 2√(1+e^x+e^2x) =

√(1+e^x+e^2x)-e^x-1 (√(1+e^x+e^2x)-e^x+1)²

= e^x(1+2e^2x-2√(1+e^x+e^2x)) = 1 .

(e^x(1+2e^2x-2√(1+e^x+e^2x)))√(1+e^x+e^2x) √(1+e^x+e^2x)

6.24.

y'= cosxe^sinx(x-1/cosx)+e^sinx(1-sinx/cos²x)= e^sinx(xcosx-sinx/cos²x)

6.25.

y'= e^x/2((x²-1)cosx+(x-1)²sinx)+e^x/2(2xcosx-(x²-1)sinx+2(x-1)sinx+(x-1)²cosx)=

= e^x/2(x-1)(5x+3)cosx

6.26.

y'= e^x+e^-x = e^3x+e^{x .}

1+(e^x-e^-x)² e^4x-e^2x+1

6.27.

y'= e^{3^√x}/³√x²(³√x⁵-5³√x⁴+20x-60³√x²+120³√x-120)+e^{3^√x}(5³√x²-20³√x+20-120/³√x+120/³√x²)= e^{3^√x}(x-40)

6.28.

y'= -3e^3xsh³x+3e^3xsh²xchx = e^3x(chx-shx)

3sh⁶x sh⁴x

6.29.

y'= -e^-x + e^2x = √(e^4x-e^2x)-√(e^-2x-1) = √(e^2x-1)-√(1-e^2x)

√(1-e^-2x) √(1-e^2x) √(1-e^-2x)*√(1-e^2x) √(1-e^-2x) √(1-e^2x)

6.30.

y'= xe^-x2(x⁴+2x²+2)-1/2*e^-x2(4x³+4x)= x⁵e^-x2

6.31.

y'= 2xe^x2(1+x²)-2e^x2x = 2x³e^x2

(1+x²)² (1+x²)²