Стационарные одномерные движения одной частицы 2 (стр. 2 из 3)

Обращаем внимание читателя на стандартное правило: поскольку рас-сматривается преобразование операторов, то формулы производных, имеющие конечное функциональное выражение

, предшествуют символам операторов

. При иной последовательности мы получили бы не операторы, а некоторые функции, не имеющие смысла. Находим требуемую совокупность частных производных:

Отсюда получаем:

Соответствующие подстановки в формулу (2.14) дают:

(3.23)

Результат (3.23) не зависит от радиальной переменной. Мы получили простую формулу, очень важную для дальнейших приложений:

. (3.24)

Оператор кинетической - энергии свободного одномерного вращения примет вид:

. (3.25)

Символ частной производной далее заменен на символ полной производной из-за одномерного характера задачи.

Если вращение свободно, то потенциальная энергия равна нулю при всех значениях φ, т.е.

В таком случае уравнение Шредингера примет вид:

. (3.26)

Объединяя в левой части все постоянные, получаем:

, (3.27)

где

(3.28)

Вновь мы пришли к уравнению, хорошо знакомого вида, аналогичного (3.6). Отличие решений уравнений (3.6) и (3.27) состоит только в выборе граничных условий, накладываемых на волновые функции, но это оказывается существенным.

3.2.3. Частные решения выберем в виде комплексных экспонент

, (3.29)

По физическим соображениям можно волновой функции придать вид лишь одного из частных решений. Это связано со свойствами момента импульса в стационарном вращательном движении, которые мы рассмотрим в рамках соответствующего операторного уравнения

, т.е.

, (3.30)

откуда следует, что собственная волновая функция оператора имеет вид:

. (3.31)

Функции (3.29) и (3.31) совпадают при условии, что

или

Физический смысл знака проекции L_z связан с ориентацией вектора

вдоль или против оси вращения, а это, в свою очередь, зависит от направления вращения плоского ротатора.

Таким образом, в качестве волновых функций удобны частные решения уравнения Шредингера вида (3.29), имеющие ясный физический смысл функций состояния с определенной ориентацией вращения. Далее займемся доводкой полученных решений до волновых функций вращательных состояний. Эти решения заведомо удовлетворяют свойствам конечности и неразрывности, но пока не обладают свойством однозначности, а также нуждаются и в нормировке. Нормировочный коэффициент А легко получается из равенств:

(3.32)

3.2.4. Обратимcя к выяснению природы параметра m на основе свойства однозначности, которое состоит в том, что значение волновой функции Φ отвечающей аргументу φ, совпадает со значением функции, аргумент которой сдвинут на полный оборот и равен

, т.е.:

. (3.33)

Число последующих поворотов неограничено, и поэтому вполне достаточно условия (3.33). Это означает:

откуда следует, что

, т.е. получим систему уравнений

(3.34)

Требования (3.34) выполняются только при целочисленных значениях параметра m, пробегающих с интервалом 1 все значения, включая 0:

, (3.35)

и комплексные нормированные волновые функции плоского ротатора приобре-тают вид:

. (3.36)

3.2.5. В результате оказывается, что энергия вращения квантована, и уровни, определяемые формулой (3.30) можно пронумеровать, т.е.:

. (3.37)

Состояния, отличающиеся только знаком m, т.е. направлением вращения, обладают равной энергией. За исключением нулевого уровня (

) всем прочим уровням отвечает по два состояния, это означает, что каждый из уровней дважды вырожден. Вырождение вращательных уровней плоского ротатора является следствием; равноправия двух направлений вращения вокруг оси. Принимая за единицу шкалы энергии

3.2.6. Обсудим волновые функции, для чего воспользуемся приемом, который имеет далеко идущие последствия. Он связан с переходом от комплексной формы волновых функций, компактной, но не обладающей графической наглядностью, которая чрезвычайно важна и желательна для химических приложений, к функциям вещественного вида. Это достигается на основе принципа суперпозиции путем составления линейных комбинаций комплексных экспонент с одинаковым значением модуля

, т.е. вместо волновых функций вида

при

будем использовать функции вида

. (3.38)

Согласно теореме об общих решениях дифференциальных уравнений, такой переход допустим, и линейные комбинации описывают состояния, которые принадлежат тем же самым уровням энергии, но при этом теряется определенность в ориентации вращения относительно выбранной оси. Так часто случается в квантовой механике: добиваясь наглядности в описании какого-либо свойства, неизбежно теряют в других.

Поскольку

физически равноправные функции, положим

, и составим линейные комбинации вида

Преобразуя

по формулам Эйлера (1.2) и (1.3), получаем

;

. (3.39)

Множитель

находим из условия нормировки (2.2):

что дает:

. Напоминаем, что

(3.40) не нуждается в подобном преобразовании.

Волновые функции состояния одночастичной системы принято называть орбиталями. В дальнейшем мы будем широко использовать этот термин.

3.2.7 Полученные действительные орбитали графически изображаются на плоских полярных диаграммах, где численное значение функции откладывается на радиус-векторе, исходящем из полюса под углом φ к стандартно ориентированному координатному лучу