Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.15
Задача 15. Найти производную
.15.1.
x'= 6t*t3-3t2(3t2+1) = -t2-1
3t6 t4
y'= cos(t3/3+t)(t2+1)
y'x= cos(t3/3+t)(t2+1)t4 = -t4cos(t3/3+t)
-t2-1
15.2.
x'= -t _
√(1-t2)
y'= 1 _
2√(1+t)cos2√(1+t)
y'x= -√(1-t2) = -√(1-t2) _
2t√(1+t)cos2√(1+t) 2tcos2√(1+t)
15.3.
x'= 1-t _
√(2t-t2)
y'= 2 _
3 3√(1-t)5
y'x= 2√(2t-t2) = 2√(2t-t2) _
3 3√(1-t)5(1-t) 3 3√(1-t)2(1-t)2
15.4.
x'= cost = 1
√(1-sin2t)
y'= sint = 1
√(1-cos2t)
y'x= 1
15.5.
x'= 1+t/√(t2+1) = 1 _
t+√(t2+1) √(t2+1)
y'= √(t2+1)+ t2 = 2t2+1_
√(t2+1) √(t2+1)
y'x= (2t2+1)√(t2+1) = 2t2+1
√(t2+1)
15.6.
x'= 1-t _
√(2t-t2)
y'= 1 = 1 _
√(1-(t-1)2) √(2t-t2)
y'x= √(2t-t2) = 1_
√(t2-t2)(1-t) 1-t
15.7.
x'= -2et _ = -2et _
sin2(2et) 4sin2etcos2et
y'= et = et _
tgetcos2et sinetcoset
y'x= 4et sin2etcos2et = -2sinetcoset
-2etsinetcoset
15.8.
x'= -1 = -1 _
ctgt sin2t sint cost
y'= 2sint
cos3t
y'x= -cos3t = -1/2*ctg2t
2sin2tcost
15.9.
x'= et/2_
2(1+et)
y'= et _
2√(1+et)
y'x= 2et(1+et) = √(et+e2t)
2et/2√(et+1)
15.10.
x'= √(1+t)*√(1+t)*-1-t-1+t = -1_
√(1-t) 2√(1-t) (1+t)2 1-t2
y'= -t _
√(1-t2)
y'x= t(1-t2) = t√(1-t2)
√(1-t2)
15.11.
x'= 2t3_
1-t4
y'= (1+t2)(-2t(1+t2)-2t(1-t2)) = -2
√(1+2t2+t4-1+2t2-t4)(1+t2)
y'x= -2(1-t4) = t4-1
2t3 t3
15.12.
x'= -t _
√(1-t2)
y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) = 1 _
1-t2 (1-t2)3/2
y'x= -√(1-t2)_ = 1_
t(1-t2)3/2 t3-t
15.13.
x'= -t = -1 _
√(1-1+t2)√(1-t2) √(1-t2)
y'= -2arccost
√(1-t2)
y'x= 2arccost√(1-t2) = 2arccost
√(1-t2)
15.14.
x'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) = 1 _
1-t2 (1-t2)3/2
y'= t *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = -1
1+√(1-t2) t2 t
y'x= √(1-t2)
t2
15.15.
x'= -4(1+cos2t)costsint
y'= -sin3t-2cos2tsint = -1-cos2t
sin4t sin3t
y'x= 1+cos2t = 1 _
4sin3t(1+cos2t)costsint 4sin4tcost
15.16.
x'= (1+t)(-1-t-1+t) = -2_
(1-t)(1+t)2 1-t2
y'= -t _
√(1-t2)
y'x= -t (1-t2)_ = t√(1-t2)
-2√(1-t2) 2
15.17.
x'= 1 = 1 _
t2√(1-1/t2) t√(t2-1)
y'= t + t = 2t _
√(t2-1) √(t2-1) √(t2-1)
y'x= 2t2√(t2-1) = 2t2
√(t2-1)
15.18.
x'= 1_
tln2t
y'= t *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = -1
1+√(1-t2) t2 t
y'x= -tln2t = -ln2t
t
15.19.
x'= 1 _
2√t√(1-t)
y'= 1 _
4√t√(1+√t)
y'x= 2√t√(1-t) = √(1-√t)
4√t√(1+√t) 2
15.20.
x'= 2arcsint
√(1-t2)
y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) = 1 _
1-t2 (1-t2)3/2
y'x= √(1-t2) = 1 _
2(1-t2)3/2arcsint 2(1-t2)arcsint
15.21.
x'= √(t2+1)+t2/√(t2+1) = 2t2+1
√(t2+1)
y'= t *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = -1
1+√(1-t2) t2 t
y'x= -√(t2+1) = -1 _
(2t2+1)√(t2+1) 2t2+1
15.22.
x'= 1/(1+t2)
y'= (t+1)(t(t+1)/√(t2+1)-√(1+t2)) = t-1 _
√(1+t2)(1+t) √(t2+1)(1+t)
y'x= (t-1)(1+t2) = (t-1)√(1+t2)
√(1+t2)(t+1) 1+t
15.23.
x'= -2t/(1-t2)
y'= -t = -1/√(1-t2)
√(1-1+t2)√(1-t2)
y'x= 1-t2 = √(1-t2)
2t√(1-t2) 2t
15.24.
x'= (t-1)2(t-1-t-1) = -1_
((t-1)2+(t+1)2)(t-1)2 t2+1
y'= -t = -1/√(1-t2)
√(1-1+t2)√(1-t2)
y'x= t2+1_
√(1-t2)
15.25.
x'= √(1+sint)√(1+sint)(-cost(1+sint)-cost(1-sint)) = -1_
2√(1-sint)√(1-sint)(1+sint)2 cost
y'= tgt/cos2t-tgt= tg3t
y'x= -tg3tcost
15.26.
x'= 1-2t _ t√t(-t-1+t) = √(1-t)
2√(t-t2) 2(t+1-t)√(1-t)t2 2√t
y'= 1 + arcsin√t _ √(1-t) = arcsin√t
2√t 2√(1-t) 2√t√(1-t) 2√(1-t)
y'x= 2√t arcsin√t = √t arcsin√t
2(1-t) (1-t)
15.27.
x'= 1 = 1 _
tgtcos2t sintcost
y'= -2cost
sin3t
y'x= -2cost = -2_
sin4tcost sin4t
15.28.
x'= (2tlnt+t)(1-t2)+2t3lnt – 2t = 2tlnt
(1-t2)2 2√(1-t2) (1-t2)
y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) arcsint + t/(1-t2) – t/(1-t2) = arcsint
1-t2 (1-t2)3/2
y'x= arcsint(1-t2)2 = arcsint√(1-t2)
2tlnt(1-t2)3/2 2tlnt
15.29.
x'= 2esec^2tsec2t tgt= 2esec^2tsint
cos3t
y'= lncost _ sint + 1/cos2t-1= lncost-sintcost+sin2t
cos2t cost cos2t
y'x= 1/2*e-sec^2tctgt(lncost-sintcost+sin2t)
15.30.
x'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) arcsint + t/(1-t2) – t/(1-t2) = arcsint
1-t2 (1-t2)3/2
y'= √(1-t2)+t2/√(1-t2) = 1 _
1-t2 (1-t2)3/2
y'x= (1-t2)3/2 = 1 _
(1-t2)3/2 arcsint arcsint
15.31.
x'= 1+t/√(t2+1) = 1 _
t+√(t2+1) √(t2+1)
y'= t _ t *-t2/√(1-t2)-1-√(1-t2) = t + 1 = t2+2√(1-t2)
2√(1+t2) 1+√(1-t2) t2 2√(1+t2) t 2t√(1-t2)
y'x= (t2+2√(1-t2))√(1+t2)
2t√(1-t2)