Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.7

Задача 7. Найти производную.

7.1.

√x + √x

y'= ln(√x+√(x+a)) + 2√x 2√(x+a) _ 1 =

2√x √x+√(x+a) 2√(x+a)

= ln(√x+√(x+a)) + √x .

2√x 2(√x+√(x+a))√(x+a)

7.2.

y'= 1+x/√(a²+x²) = x+√(a²+x²) = 1 .

x+√(a²+x²) (x+√(a²+x²))√(a²+x²) √(a²+x²)

7.3.

y'= 1 _ 2/√x = 2+√x-2 = 1 .

√x 2+√x √x(2+√x) 2+√x

7.4.

y'= √(1-ax⁴) * 2x√(1-ax⁴)+2ax⁵/√(1-ax⁴) = 2√(1-ax⁴)+2ax⁴

x² 1-ax⁴ x-ax⁵

7.5.

1 + 1 _

y'= 2√x 2√(x+1) = √(x+1)+√x = 1 .

√x+√(x+1) 2√(x²+x)( √x+√(x+1)) 2√(x²+x)

7.6.

y'= a²-x² * 2x(a²-x²)+2x(a²+x²) = 4xa²

a²+x² (a²-x²)² a⁴-x⁴

7.7.

y'= 2ln(x+cosx)* 1-sinx .

x+cosx

7.8.

y'= -3ln²(1+cosx)* -sinx .

1+cosx

7.9.

y'= 1-x² * 2x(1-x²)+2x³ = 2 .

x² (1-x²)² x(1-x²)

7.10.

y'= ctg(π/4+x/2) = 2 = 2 .

2cos²(π/4+x/2) sin(π/2+x) cosx

7.11.

y'= 1-2x * 2(1-2x)+2(1+2x) = 1 .

4+8x (1-2x)² 2-8x²

7.12.

_

y'= 1+ (x+√2)(x+√2-x+√2) = 1+ 1 .

(x-√2)(x+√2)² x²-2

7.13.

y'= cos((2x+4)/(x+1)) * 2x+2-2x-4 = -2ctg((2x+4)/(x+1))

sin((2x+4)/(x+1)) (x+1)² (x+1)²

7.14.

y'= 1 * 1 * 1 = 1 = lntgx _

ln16*log₅tgx tgx*ln5 cos²x ln4*ln5*sin2x*log₅tgx 2sin2x*ln³2

7.15.

y'= 1 = lntgx .

4ln²2*cos²x*tgx*log₂tgx 2sin2x*ln³2

7.16.

y'= 1/2*(coslnx+sinlnx+x(-1/x*sinlnx+1/x*coslnx))= coslnx

7.17.

y'= -sin((2x+3)/(x+1))*2x+2-2x-3 = ctg((2x+3)/(x+1))

cos((2x+3)/(x+1)) (x+1)² (x+1)²

7.18.

y'= -lge = -2lge .

lnctgx*ctgx*sin²x lnctgx*sin2x

7.19.

y'= 4x³ = 2x^{3 .}

2(1-x⁴)lna lna(1-x⁴)

7.20.

1 * 4tgx _

y'= cos²x 2√2cos²x√1+2tg²x = 2tgx _

√2tgx+√(1+2tg²x) cos⁴x√(1+2tg²x)( √2tgx+√(1+2tg²x))

7.21.

y'= 1 * 1 * -2e^2x = -e^x_

arcsin√(1-e^2x) √(1-1+e^2x) 2√(1-e^2x) √(1-e^2x)arcsin√(1-e^2x)

7.22.

y'= 1 * 1 * -4e^4x = -2e^2x_

arccos√(1-e^4x) √(1-1+e^4x) 2√(1-e^4x) √(1-e^4x)arccos√(1-e^4x)

7.23.

y'= b+b²x/√(a²+b²x²) = b _

bx+√(a²+b²x²) √(a²+b²x²)

7.24.

y'= √(x²+1)-x√2 * (x/√(x²+1)+√2)( √(x²+1)-x√2)-(x/√(x²+1)-√2)( √(x²+1)+x√2)=

√(x²+1)+x√2 (√(x²+1)-x√2)²

= (x+√(x²+1))(√(x²+1)-x√2)-(x-√2√(x²+1))(√(x²+1)+x√2) =

√(x²+1)(√(x²+1)-x√2)²

= 2√2 _

√(x²+1)(√(x²+1)-x√2)²

7.25.

y'= -1/(2√x³) = -1 _

arcos(1/√x) 2√x³arccos(1/√x)

7.26.

y'= e^x+e^2x/√(1+e^2x) = e^x _

e^x+√(1+e^2x) √(1+e^2x)

7.27.

√5-tg(x/2)+√5+tg(x/2)

y'= √5-tg(x/2) * 2cos²(x/2) 2cos²(x/2) = √5 _

√5+tg(x/2) (√5-tg(x/2))² (5-tg²(x/2))cos²(x/2)

7.28.

sin(1/x)+lnxcos(1/x)

y'= sin(1/x)* x x² = 1 + ctg(1/x)

lnx sin²(1/x) xlnx x²

7.29.

y'= cos(1+1/x) * -1/x² = -ctg(1+1/x) _

lnsin(1+1/x) sin(1+1/x) x²lnsin(1+1/x)

7.30.

y'= 3ln²ln²x*3ln²x*1 = 6 _

ln³ln³x ln³x x xlnln²xlnx

7.31.

y'= 2lnln³x*3ln²x* 1 = 6 _

ln²ln³x ln³x x xlnln³xlnx