Лінійна регресія (стр. 2 из 5)

N	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10	Y11	Y12
1	7,24	10,89	16,21	12,11	15,21	16,62	10,22	12,50	19,66	14,87	22,68	10,65
2	8,02	11,92	17,75	12,30	15,42	17,63	10,58	13,88	20,53	15,78	23,89	11,67
3	9,28	12,45	18,39	13,82	16,44	19,22	12,01	15,16	21,31	16,79	24,32	12,96
4	10,12	13,27	18,87	14,84	17,93	19,36	12,84	16,06	22,59	18,03	25,97	13,40
5	11,12	14,12	19,60	15,86	18,52	20,52	13,28	16,66	23,27	18,29	28,23	15,12
6	12,19	15,23	21,21	16,41	19,80	21,95	15,13	17,65	24,44	19,93	27,60	16,03
7	13,01	16,07	21,84	17,80	20,76	22,45	15,84	18,46	25,85	20,32	28,13	16,29
8	14,12	17,40	23,00	18,61	2130	23,56	17,08	19,54	26,74	21,18	29,84	18,07
9	15,21	18,68	24,44	19,57	22,25	24,90	17,99	20,58	27,36	22,47	30,31	18,40
10	16,29	19,48	25,36	21,26	24,14	25,53	18,32	21,77	28,37	23,47	31,52	19,53
11	17,01	20,52	25,54	21,08	24,17	26,11	19,49	22,15	29,22	24,07	32,27	20,48
12	18,03	21,32	2714	22,99	25,66	28,02	20,59	23,80	30,50	25,57	33,77	21,72
13	19,19	22,58	27,95	23,43	26,50	28,37	21,35	24,79	31,21	27,07	34,66	23,17
14	20,21	23,73	28,99	24,63	27,46	29,46	23,20	25,57	32,56	27,62	35,93	23,57
15	21,22	25,02	30,80	25,41	29,02	30,42	24,21	27,18	33,66	28,42	36,97	24,41

Для формування варіанта вибирається будь-який стовпчик з таблиці №1 в парі з будь-яким стовпчиком таблиці №2.

Тема №2: Аналіз індивідуального ринку.

У наш час використання ЕОМ дає можливість проводити детальний аналіз індивідуальних ринків. Сама таблиця попиту та її представлення у вигляді кривої попиту не дає можливості виробнику знайти оцінку оптимальної ціни на даний вид товару та прийняти оптимальне рішення. Нехай відома таблиця попиту:

Pi	Р1 Р2	..Рn
Di	D1 D2	..Dn

Вводимо гіпотезу, що між ціною Р та величиною попиту D існує стохастична залежність D = a₀ + a₁ • Р + a₂ • P².

Для регресії у вигляді многочлена другого степеня система нормальних рівнянь має такий вигляд:

Після розв'язування системи рівнянь знайдемо оцінки параметрів регресії попиту.

Вплив еластичності попиту на ринкові обороти.

Якщо відома регресія попиту на певний вид товару D = f(P), товарообіг у грошовому виразі дорівнює добутку реалізованого попиту на ціну товару Z = Р • f(P). Виробника цікавлять зміни товарообігу в грошовому виразі залежно від зміни ціни на даний вид товару. Проведемо дослідження зміни товарообігу Z залежно від значень Р, тобто знайдемо проміжки зростання, спадання і точку екстремуму товарообігу Z. Для цього знайдемо похідну від Z по Р:

;

де Kd = - коефіцієнт еластичності попиту.

Звідси випливає, що товарообіг Z є функцією від коефіцієнта еластичності попиту Kd . В залежності від знака Z' розрізняють три різних варіанти коефіцієнта еластичності попиту:

1. Якщо похідна від товарообігу по ціні додатна Z > 0, то при зростанні ціни Р зростає товарообіг Z. Оскільки з економічного змісту f{P) > 0, то Zp’ буде більше нуля, якщо 1 + Kd > 0. Звідки випливає, що на проміжку, де товарообіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту Kd > -1. З іншого боку, регресія попиту спадна і тому f'(P) < 0. Звідки випливає, що Kd < 0.

Таким чином, на проміжку, де товарообіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від --1 до 0 (рис). В економіці прийнято називати попит нееластичним, якщо коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від-1 до 0.

Економічна інтерпретація. Зміна ціни на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на |Kd| %, де

О < Kd < -1, при цьому товарообіг у грошовому виразі зростає.

2. Якщо Z' < 0, то з підвищенням ціни на товар відбувається зниження товарообігу в грошовому виразі. Оскільки f(P) • [1 + Kd] < 0, a f(P) > 0, то 1 + Kd < 0. Звідки випливає, що Kd < -1. Якщо значення коефіцієнта еластичності попиту для даної ціни Р менше -1, то попит при цій ціні еластичний.

Економічна інтерпретація. При еластичному попиті зміна ціни товару на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на Kd%, де Kd < -1. При цьому товарообіг у грошовому виразі зі зростанням ціни спадає.

3. Якщо Z' = 0 для деякого проміжку цін, то на цьому проміжку товарообіг залишається сталим. Якщо в деякій точці Р₀ Z' = 0, то ця точка називається критичною. Причому якщо при переході через цю точку похідна Z' змінює знак з плюса на мінус, то при цій ціні товарообіг у грошовому виразі буде максимальним. Коефіцієнт еластичності в цій точці дорівнює -1.

Визначимо проміжки зростання та спадання товарообігу. Якщо регресія попиту має вигляд многочлена другого порядку

D = a₀ + a₁ • Р + a₂ • P²., то товарообіг для цієї регресії знаходиться за формулою Z = f(P) • Р = a₀P + a₁ • Р² + a₂ • P³.

Знайдемо похідну від товарообігу по ціні: Z’ = a₀ + 2a₁ • Р + 3a₂ • P².

З необхідної умови екстремуму Z' = 0 знайдемо критичні точки:

Приведене рівняння можна отримати з умови Kd = f '(P) • Р / f(P) = -1. Знайдемо залежність еластичності попиту від ціни: Kd=f’(P) •P/f(P)=(a₁•P+2a₂.P²)/(a₀+a₁•P+a₂•P²).

Визначення максимального прибутку.

Нехай собівартість продукції складається із сталих затрат С та змінних затрат, пропорційних обсягу випуску продукції V•D. У цьому випадку прибуток підприємства буде дорівнювати різниці між товарообігом у грошовому виразі і собівартістю продукції, тобто F=D•P-(C+V•D)=a₂•P^З+(a₁-V•a₂)•P²+ (a₀-V•a₁)•P-C-V•a₀.

Знайдемо оцінку ціни, при якій прибуток буде максимальним. Якщо в деякій точці р₀, F досягає екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю. Знайдемо критичні точки dF/dP=3•а₂•P²+2•(a₁-V•a₂)•P+a₀ – V•a₁ = 0,

тобто одержимо квадратне рівняння 3•а₂•P²+2•(a₁-V•a₂)•P+a₀ – V•a₁ = 0,

Звідки отримаємо Р_3,4=(V•а₂ – а₁±0,5•D^1/2)/(3•a₂), де D=4•[(а₁ – Vа₂)²+За₂•(Va₁-a₀)].

Точку екстремуму знаходимо, дослідивши регресію товарообігу. Припустимо, що це буде значення p₄, тоді оптимальна кількість продукції, що випускається, визначається за формулою d₁= a₀+a₁•p₄+a₂•p₄², а максимальний прибуток:

F{p₄} = Z(p₄} – Vf(p₄) = a₂•p₄³ + (a₁-Va₂)•p₄² + (a₀-V-a₁)-p₄•C-V–a₀

Залежність зміни товарообігу від коефіцієнта еластичності

Наведену методику дослідження індивідуального ринку можна застосувати для залежності товарообігу від собівартості, яка має більш складний характер. У такому випадку для знаходження екстремальних точок необхідно застосовувати чисельні методи розв'язування рівнянь.

Використання економетричної моделі

Аналіз товарообігу на основі регресії з оціненими параметрами і фактором — ціна товару - має важливе значення для монополіста при виборі оптимальної ціни товару за критерієм оптимізації «максимум прибутку».

Однак слід відмітити, що запропонована економетрична модель не може бути використана для всіх видів товарів і не враховує крайових ефектів. Так, у роботі відмічається, що для товарів першої необхідності попит не еластичний і звідси із збільшенням ціни товарообіг у вартісному виразі зростає. Для такого товару немає сенсу казати про ціну, при якій прибуток буде максимальним. Тому питанням ціноутворення на товари першої необхідності займається держава. Необхідно зауважити, що попит залежить не тільки від ціни, а й від рівня прибутку (криві Енгеля).