Лінійна регресія (стр. 4 из 5)

Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези. Будемо вважати, що виробнича регресія неперервна і двічі диференційована.

Гіпотеза 1. Якщо збільшується один із факторів X₁, або Х₂ при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується.

Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни одного з факторів X₁, X₂ математично виражається як частинна похідна по цьому фактору

Гіпотеза 2. Приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів. Іншими словами, приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю.

Гіпотеза 3. Виробнича функція F(X₁, Х₂) є однорідною функцією відносно факторів X₁, X₂, з показником однорідності а. Це означає, що при одночасному збільшенні значень факторів у l разів (будь-яке стале число) обсяг виробленої продукції збільшиться у l^a разів.

F(X₁,X₂)=YF(Х₁,Х₂,).

При виконанні гіпотези 3 згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність

Гіпотеза 4. На лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа:

Y=a₀X₁^a1X₂^a2,

Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа.

Нехай у результаті досліджень отримані такі статистичні дані Y_i, X_1i, X_2i (і =1, п), де Y_i — обсяг випуску продукції в i-му періоді (підприємстві), X₁ — чисельність робочої сили в цьому періоді, Х₂ — основний капітал за цей період. На основі статистичних даних необхідно оцінити параметри виробничої регресії.

Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:

lnY = lna₀ + a₁ln X₁ + a₂ln X₂,

a₀₁ = lna₀, Y₁ = lnY, Z₁ = lnX₁, Z₂ = lnX₂.

Після цих перетворень отримаємо лінійну модель

Y₁ = a₀₁ + a₁Z₁ + a₂Z₂.

Система нормальних рівнянь для цієї регресії має вигляд

Для обчислення коефіцієнтів при невідомих а₀₁, a₁, a₂i вільних членів зручно використовувати електронні таблиці.

Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів a₁ i a₂ виконується приблизне рівняння a₁+a₂ »1.

Цей факт іноді використовується для оцінки параметрів. Якщо скористатися цим рівнянням a₂=1-a₁, то регресія Кобба-Дугласа буде мати вигляд:

.

Після заміни величин

, отримаємо регресію Y₁ = a₀Z^a1, де параметри а₀, а₁ оцінюються із системи двох нормальних рівнянь:

Після розв'язання системи нормальних рівнянь отримаємо оцінки параметрів a₁, a₀:

Частинні коефіцієнти еластичності виробничої регресії

Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.

Якщо лінія регресії має вигляд Y = f[X₁, Х₂,...Х_m), то частинний коефіцієнт еластичності для фактора X, обчислюється за формулою

, (i=1,m)

Знайдемо частинні коефіцієнти еластичності для виробничої регресії Кобба-Дугласа:

Y=a₀X₁^a1X₂^a2,

Таким чином, параметр a₁ є частинним коефіцієнтом еластичності фактора Х₁ виробничої регресії Кобба-Дугласа і показує, що показник Y змінюється на a₁ відсотків, якщо фактор X₁ змінюється на 1% при незмінних значеннях фактора Х₂. Оскільки коефіцієнт еластичності додатний, то збільшення (зменшення) фактора викликає, відповідно, збільшення (зменшення) показника.

Аналогічним чином знайдемо, що частинний коефіцієнт еластичності для другого фактора дорівнює другому параметру kx₂ = a₂ і, відповідно, показує, що зміна фактора Х₂ на 1% викликає зміну показника на а₂ відсотків при незмінних значеннях фактора Х₁

Сумарний коефіцієнт еластичності

Розглянемо гіпотезу 3 про однорідність виробничої регресії з економічної точки зору. Збільшимо обсяг факторів у будь-яке стале число l і прослідкуємо реакцію зміни обсягу випуску продукції на такі зміни факторів.

Нехай у деякий момент часу фактори і показник мали значення x₁₀, x₂₀, y₀, тобто Y₀=a₀X₁₀^a1X₂₀^a2, Після збільшення факторів у l разів отримаємо:

Y=a₀X₁^a1X₂^a2=a₀(lX₁₀)^a1(lX₂₀)^a2=l^a1+a2 a₀X₁₀^a1X₂₀^a2=l^a1+a2 Y₀.

У даному випадку показник однорідності а дорівнює сумі частинних коефіцієнтів еластичності a₁ + а₂. Цей показник однорідності називають загальним (сумарним) коефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул можна зробити висновки:

1. Якщо сумарний коефіцієнт еластичності а = 1, то при збільшенні факторів виробництва в l (стале число більше одиниці) разів, обсяг виробництва збільшиться в стільки ж разів.

2. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності більше одиниці, то збільшення факторів виробництва в l (стале число більше одиниці) разів викличе збільшення обсягу виробництва в число разів більше за l, тобто в l^a1+a2 , де a₁ + а₂. > 1. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.

3. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності менше одиниці, то збільшення факторів виробництва в l (стале число більше одиниці) разів викличе зменшення обсягу виробництва в число разів менше за l, тобто в l^a1+a2 , де a₁ + а₂. > 1. Тобто в цьому випадку при зростанні обсягу виробництва зростають витрати на одиницю продукції.

Ізокванти

Геометричнo виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тримірному просторі з координатами Х₁, Х₂, Y.

Для більш повного уявлення виробничої регресії розглянемо її Ізокванти. В тих виробництвах, де фактори взаємозамінні, одного й того ж результату (обсягу випуску продукції) можна досягти різною комбінацією факторів виробництва (основних засобів і праці).

Для регресії, що розглядається, геометричне місце точок факторів Х₁, Х₂ (різні комбінації факторів), для яких показник обсягу виробництва продукції У залишається сталим, називається ізоквaнтою.

Нехай кінцева мета виробництва — виробити продукцію обсягом у₀. Припустимо, що для даного виробництва оцінені параметри виробничої регресії. Необхідно знайти комбінацію факторів, при яких буде вироблено продукції у₀, тобто необхідно знайти рівняння ізокванти.

Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів виробничої регресії через інший фактор і стале значення показника регресії:

Якщо сталу позначити через b, то отримаємо таку залежність , в окремому випадку при а₂=а₁ отримаємо гіперболу Сімейство ізоквант у декартовій системі координат Х₁0Х₂ зображено на рисунку.

Згідно з рис. при різних значеннях факторів у точках P₁ (х₁₁,х₂₁) та P₂ (х₁₂,х₂₂) буде вироблено однаковий обсяг даного виду продукції, тобто =a₀X₁₁^a1X₂₁^a2=a₀X₁₂^a1X₂₂^a2=Y₀.

Таким же чином можна розглянути множину комбінацію факторів, яким відповідає інший сталий обсяг виробництва продукції. Це буде інша ізокванта із сімейства ізоквант. Наприклад, на рис. ізокванта, якій відповідає сталий обсяг у₁ виробництва продукції.

Темп приросту показника виробничої регресії

Виразимо граничний приріст показника через граничні прирости факторів:

Частинна похідна від загальної виробничої регресії по і-му фактору: Враховуючи формули темпу приросту, можемо записати

.

Для загальної виробничої регресії темп приросту показника дорівнює зваженій сумі темпів приросту факторів цього показника, де вагами є параметри а₁, а₂.

Гранична продуктивність і граничний продукт.

Граничною продуктивністю праці (ГП_п) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни працезатрат на одиницю при незмінних інших факторах, що впливають на обсяг виробництва продукції.

В загальному вигляді ГП_п можна записати:

.

Із цього співвідношення одержимо нову економічну інтерпретацію параметра а₁ виробничої регресії Кобба-Дугласа. Якщо назвати середньою продуктивністю праці, то параметр а₁ є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю праці (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0< a₁ <1).

Граничним продуктом праці називається додатковий продукт , отриманий у результаті додаткових затрат праці при незмінних затратах решти факторів виробництва.

Введемо формулу обчислення додаткового продукту , отриманого в результаті відносно малих додаткових порцій вкладення праці:

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа ця формула отримає вигляд

Граничною продуктивністю капіталу (ГП_к) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни капіталу на одиницю при незмінних значеннях решти факторів виробництва.