Класифікація електромагнітних явищ

Лекція 2

Існують загальні підходи для спрощення:

1. Рівняння стаціонарного електромагнітного поля. Інколи можна розглядати постійні струми. При цьому в рівнянні (*) зникають похідні:

Приклад використання: розрахунок наводок.

2. Розглянемо систему рівнянь у вакуумі, де

. Рівняння магнітостатики:

, рівняння електростатики:

. Рівняння магнітостатики має місце і там, де

.Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси

тобто

звідки одержуємо рівняння Лапласа:

(з урахуванням заряду), Пуасона:

(без).

3. Квазістатичне наближення:

- розмір об’єкту. Тоді рівняння Максвела спрощуються. Розглянемо метал: там просторові переходи дуже швидко зростають (швидке затухання) тобто частинними похідними можна знехтувати.

4. Для монохроматичного лінійного поля можна використати метод комплексних амплітуд: позбавляємося частинних похідних тобто спрощуємо рівняння Максвела. Рівняння ЕМП в комплексній формі будемо розглядати лише для лінійних рівнянь, хоча існує метод і для нелінійних. Розглянемо рівняння:

. Зробимо наступну заміну:

, та аналогічно

. Підставивши отримаємо:

, прирівнявши коефіцієнти отримуємо:

- ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінні; б) замість похідних по часу треба записати

. Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

або

. Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

, де

. Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

Було б зручно звести рівняння Максвела до хвильових, але це можна зробити лише у деяких випадках, які і розглянемо.

Плоскі хвилі

Розглядатимемо плоскі хвилі в однорідному ізотропному середовищі.

Задача: знайти характеристики плоскої хвилі в такому середовищі.

Розв’язок:

1. Обираємо декартову систему координат;

2. Рівняння Максвела:

; де

. У плоскої хвилі на хвильовому фронті амплітуда і фаза однакова. Нехай хвиля розповсюджується в напрямку

, то

. Отримаємо

(з

). Розв’язок отриманог рівнянння осцилятора:

Перейдемо до справжньої компоненти поля:

де

- рівняння хвильового фронту (фаза

). Цей фронт розповсюджується зліва направо. Якби ми взяли замість

компоненту

, то одержали б

- фронт, що рухається справа наліво.

Розглянемо

;

, тобто маємо дійсно праву трійку

. Оскільки

, то

Таким чином у плоскій хвилі

залежні величини: якщо одне з них задане, то друге визначається лише серидовищем (див. *). Це в СГСЕ, в інших системах по іншому. Наприклад, в СІ у вакуумі

377 (Ом) – опір вільного простору (хвильовий опір простору).

Затухання електромагнітних хвиль (ЕМХ).

Нехай вздовж осі

розповсюджується ЕМХ:

; тут

. Розглянемо в середовищі, де

, (найрозповсюдженіший випадок);

. Тоді

. З’явилася дійсна величина

в експоненті. Тобто кожна хвиля затухає.