Алгоритм Дейкстра (стр. 2 из 4)

~

Лема 3. Нехай G=(V,E), p=|V|, q=|E|.
1) число зв'язних компонентів у G більше або дорівнює |V|-|E| (N_комп.p-q);
2) якщо в G немає циклів, то число зв'язних компонентів у G дорівнює |V|-|E| (N_комп.=p-q).

Доказ: побудуємо порожній граф з p вершинами (очевидно, у ньому рівно p зв'язкових компонент) і будемо додавати ребра по одному.

При додаванні ребра можливі дві ситуації: (а) нове ребро з'єднує вершини, що знаходилися до цього в різних компонентах (у цьому випадку кількість компонент зменшується на одиницю) і (б) нове ребро з'єднує вершини, що належать одному компоненту (число компонентів не змінюється). Отже, при додаванні q ребер число компонент зменшиться не більше ніж на q, і, отже, кількість компонентів у графі буде більше або дорівнює p-q. Це доводить твердження (1).

Відповідно до леми 1, при додаванні ребра в зв'язний граф у ньому з'являється цикл. Якщо в графі немає циклів, це означає, що при додаванні ребер завжди відбувався варіант (а) - інакше з'явилися б цикли. Отже, число компонентів при кожнім додаванні ребра зменшувалося на одиницю, і після додавання q ребер у графі буде рівно p-q компонент. Це доводить твердження (2).

~

Наслідок 1 леми 3: якщо |E||V|-2, те граф G=(V,E) незв'язний (випливає безпосередньо з лемі 3).

Теорема 1. Любою зв'язний граф містить підграф, що є деревом.

Доказ: якщо в зв'язному графі немає циклів, то він уже є деревом по визначенню. Інакше знаходимо будь-як кільцеве ребро і видаляємо його; відповідно до лемми 2 граф залишається зв'язковим. Продовжуємо процес, поки в графі існують цикли. У силу кінцівки графа цей алгоритм побудує дерево за кінцеве число кроків.

Зауваження: фактично доведене більш сильне твердження - що будь-який зв'язний граф містить основній підграф (підграф з тією же кількістю вершин, що і сам граф), що є деревом.

~

Теорема 2. Для будь-якого дерева G=(V,E) вірно: |V|-|E|=1.

Доказ: по визначенню, у дереві немає циклів, отже, відповідно до леми 3 у ньому рівно |V|-|E| зв'язкових компонент. Але по визначенню дерево зв'язне, тобто складається з одного зв'язного компонента, тому |V|-|E|=1.

~

Теорема 3. Наступні властивості графів еквівалентні:

1. G=(V,E) - дерево;
2. будь-які дві вершини G з'єднані єдиним простим ланцюгом;
3. G - граф без циклів, у якого |E|=|V|-1;
4. G - зв'язний граф, у якого |E|=|V|-1;
5. G - зв'язний граф, але при видаленні будь-якого ребра він стає незв'язним;
6. G - граф без циклів, але при додаванні будь-якого ребра в ньому з'являється рівно один (з точністю до завдання початкової вершини і напрямку обходу) простий цикл.

Доказ: доведемо теорему в послідовності (1)<=>(2), (2)=>(3)=>(4)=>(5)=>(6)=>(1).

(1)=>(2): допустимо, що деякі дві вершини v₁ і v₂ графа G з'єднані, принаймні, двома різними простими ланцюгами L₁=u₁....u_k, де u₁=v₁ і u_k=v₂, і L₂=w₁....w_m, де w₁=v₁ і w_m=v₂. З того, що ланцюги є простими і різними, випливає, що існує число j, 1<j<min(k,m), таке, що u_j-1w_j-1, u_jw_j, ... , u_j+a-1w_j+b-1, u_j+aw_j+b, де a1, b1. Отже, у G існує цикл ІЗ=u_j-1(u_j-1,u_j)u_j...u_j+a(w_j+b,w_j+b-1)w_j+b-1... w_j(w_j,w_j-1)w_j-1 (див. малюнок) - одержали протиріччя з (1).

(2)=>(1):
(а) граф G є зв'язковим по визначенню связаність (будь-які дві вершини графа з'єднані ланцюгом);
(б) допустимо, що в графі G існує цикл, що проходить через деяку вершину v: C=v(v,u₁)u₁....u_k(u_k,v)v. Але це означає, що між v і кожної з вершин u_i існують, принаймні, два різних шляхи L₁=v(v,u₁)u₁...u_i-1(u_i-1,u_i)u_i і L₂=v(v,u_k)u_k...u_i+1(u_i+1,u_i)u_i (шляхи різні, тому що по визначенню в циклі відсутні повторювані ребра). У силу утвердження 1 з цих шляхів можна "виділити" прості ланцюги, що також будуть різні (у L₁і L₂ немає співпадаючих ребер), - одержали протиріччя з (2).
З (а), (б) і визначення дерева випливає, що G є деревом. (2)=>(3): по теорема 2;
(3)=>(4): по лемма 3;
(4)=>(5): т.к. |E|=|V|-1, те після видалення ребра в новому графі буде |V|-2 ребер, і по слідству 1 лемки 3 цей граф буде незв'язним;
(5)=>(6):
(a) доведемо першу частину твердження (G - граф без циклів): допустимо, у G є цикли; але тоді при видаленні будь-якого кільцевого ребра він залишиться зв'язковим, що суперечить (4);
(б) доведемо другу частину твердження (при додаванні будь-якого ребра в G з'являється рівно один простий цикл): зі связаність графа і лемма 1 випливає, що при додаванні будь-якого ребра в G з'являється, як мінімум, один простий цикл; у силу (2) цей простий цикл єдиний (зворотне означало б, що в G існують вершини, з'єднані більш ніж одним простим ланцюгом);
(6)=>(1): допустимо, G - не дерево, тобто граф чи не зв'язний містить цикли. Циклів не може бути в силу (5а), тому залишається варіант: G - незв'язний і складається мінімум із двох компонентів. Але тоді при додаванні ребра між вершинами, що належать різним компонентам, цикли не утворяться, а це суперечить (5б).

~

Основним деревом (кістяком) зв'язного графа називається будь-який його основний підграф, що є деревом.

Існування основного підграфа для будь-якого зв'язного графа доводиться теоремою 1.

Загальне число основних дерев зв'язного графа може бути дуже велика. Так, для повного графа з n вершинами воно дорівнює n^n-2 (без доказу).

Граф і два його основних дерева (вилучені ребра показані пунктиром).

Для довільного (можливо, незв'язного) графа G основне дерево визначається як будь-який його основний підграф, не утримуючих циклів і маючи стільки ж компонентів связаність, що і G.

Цикломатичне число і фундаментальні цикли

Цикломатичрим числом графа G=(V,E) називається з k зв'язковими компонентами називається число (G)=|E|-|V|+k.

Фундаментальним циклом графа G=(V,E) з основним деревом T=(V,E') називається простий цикл, одержуваний у результаті додавання в T одного з ребер G, не приналежного E'.

Твердження 1. Кількість фундаментальних циклів графа G=(V,E) при будь-якому фіксованому основним дереві T=(V,E') дорівнює цикломатичному числу G.

Доказ: відповідно до лемма 3 п.2, k=|V|-|E'|, отже, <кількість ребер G, не приналежних E'> = |E|-|E'| = |E|-(|V|-k) = (G). При додаванні кожного з цих ребер у T з'являється рівно один простий цикл у силу теоремі 3 п.6; всі одержувані при цьому прості цикли різні, тому що кожний з них містить принаймні одне унікальне ребро - те саме ребро G, не приналежне E', що було додано в дерево.

~

Компланарні графи

Зіставивши вершинам графа крапки на чи площині в просторі, а ребрам - лінії, що з'єднують крапки, що відповідають кінцям ребра, можна одержати діаграму - візуальне представлення даного графа.
Очевидно, що для будь-якого графа можна побудувати нескінченну кількість таких діаграм. Якщо на деякій діаграмі серед крапок, що відповідають вершинам графа, немає співпадаючих, а лінії, що відповідають ребрам графа, не мають загальних крапок (за винятком кінців), то ця діаграма називається геометричною реалізацією графа.

Теорема 1. Для будь-якого графа існує геометрична реалізація в тривимірному евклідовому просторі.

Доказ:

1. реалізуємо |V| крапок, що відповідають вершинам графа, на одній прямій;
2. проведемо через цю пряму |E| різних на півплощин;
3. реалізуємо кожне ребро у своїй на півплощині.

~

Виникає питання: чи будь-який граф можна реалізувати на площині? Відповідь - негативний. Геометричну реалізацію на площині допускають лише деякі графи; такі графи називаються компланарними.

Для наступного викладу нам знадобиться поняття грані. Неформально визначимо грань як частина площини, на які площина "розрізається" лініями геометричної реалізації графа. Завжди існує необмежена зовнішня грань.

- 7 вершин, 8 ребер, 3 грані

Формула Ейлера. Для будь-якої геометричної реалізації графа G=(V,E) на площині вірно: p-q+r=2, де p=|V|, q=|E|, r - число граней (без доказу).

Теорема 2. Якщо в зв'язковому планарним графі немає циклів довжини менше k і k3, то qk(p-2)/(k-2), де p=|V|, q=|E|.

Доказ (не зовсім формальне): нехай граф реалізований на площині і при цьому вийшло r граней. Нехай q_i - число сторін у i-й грані (див. малюнок). Кожне ребро є стороною двох граней, тому 2q=Sum(q_i, i=1..r). По умови в графі немає циклів довжини менше k, але тоді q_ik (тому що сторони грані утворять цикл) і 2q=Sum(q_i, i=1..r)kr. По формулі Эйлера r=2-p+q, отже, 2qk(2-p+q), з чого випливає доказувана нерівність.

- 8 ребер, 3 грані, 3+6+7=16 сторін
~

Наслідок 1 теореми 2: для будь-якого зв'язкового пленарного графа без петель і кратних ребер виконується нерівність: q3(p-2), де p=|V|, q=|E|.

Доказ: тому що за умовою в графі немає петель і кратних ребер, у ньому немає і циклів довжини менше 3, тому, підставляючи k=3 у нерівність теоремі 2, одержуємо: qk(p-2)/(k-2)=3(p-2).

~

Теорема 3. Граф K₅ не компланарний.

Доказ: K₅ зв'язний, у ньому немає петель і кратних ребер, але наслідок 1 теореми 2 не виконується - q=10>3(p-2)=9. Виходить, K₅ не компланарний.

~

Теорема 4. Граф K₃₃ не компланарний.

Зауваження: використання наслідку 1 теореми 2 тут не допоможе, тому що q=9<3(p-2)=12.

Доказ: у K₃₃ немає циклів довжини менше 4, тому застосуємо нерівність теоремі 2 безпосередньо (при k=4): q=9>4(p-2)/2=8. Отже, K₃₃ не компланарний.

~

Теорема Понтрягіна-Куратовского (критерій компланарності графів). Граф G планарин тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфов, гомеоморфних K₅ чи K₃₃.

Доказ: необхідність випливає з тверджень 1-4 (див. нижче), а також з того факту, що графи K₅ і K₃₃ не компланарні (відповідно до теорем 3 і 4).

Твердження 1: якщо графи U₁ і U₂ ізоморфні, то U₁ компланарний тоді і тільки тоді, коли U₂ компланарний.