Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.16
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра
.16.1.
x0= 3a√3/8
y0= a/8
x'= 3a sin2tcost
y'= -3a cos2tsint
y'x= -tgt
y'x0= -√3
Касательная
y – a/8= -√3(x-3a√3/8)
y+√3x – 10a/8=0
Нормаль
y – a/8= 1/√3*(x-3a√3/8)
√3y – x +2√3a/8=0
16.2.
x0= √3/2
y0= √3/2
x'= -√3sint
y'= cost
y'x= -√3/3*ctgt
y'x0= -1/3
Касательная
y - √3/2= -1/3*(x-√3/2)
y+1/3*x - 4√3/6=0
Нормаль
y - √3/2= 3*(x-√3/2)
y-3x+√3=0
16.3.
x0= a(π/3-√3/2)
y0= a/2
x'= a(1-cost)
y'= asint
y'x= sint/(1-cost)
y'x0= √3
Касательная
y-a/2= √3(x-a(π/3-√3/2))
y-√3x-2a+πa/√3=0
Нормаль
y-a/2= -1/√3(x-a(π/3-√3/2))
y+x/√3-πa/3√3=0
16.4.
x0= 1
y0= 2
x'= 2-2t
y'= 3-3t2
y'x= 3/2*(1+t)
y'x0= 3
Касательная
y-2=3(x-1)
y-3x+1=0
Нормаль
y-2=-1/3(x-1)
y+x/3-7/3=0
16.5.
x0= 3/2
y0= 1/2
x'= (2+2t)(1+t3)-3t2(2t+t3) = 2+2t-4t3-t4
(1+t3)2 (1+t3)2
y'= (2-2t)(1+t3)-3t2(2t-t3) = 2-2t-4t3+t4
(1+t3)2 (1+t3)2
y'x= 2-2t-4t3+t4
2+2t-4t3-t4
y'x0= 3
Касательная
y-1/2=3(x-3/2)
y-3x+4=0
Нормаль
y-1/2=-1/3(x-3/2)
y+x/3-1=0
16.6.
x0= 5π/4
y0= π/4
x'= √(1+t2)-t2/√(1+t2) = 1/(1+t2)
√(1-t2/(1+t2))(1+t2)
y'= -t = -1/(1+t2)
√(1-1/(1+t2))√(1+t2)3
y'x= -1
y'x0= -1
Касательная
y-π/4=-(x-5π/4)
y+x-6π/4=0
Нормаль
y-π/4=x-5π/4
y-x+π=0
16.7.
x0= π√2(π-8)/32
y0= π√2(π+8)/32
x'= -2sint-t2sint
y'= 2cost+t2cost
y'x= -ctgt
y'x0= -1
Касательная
y-π√2(π+8)/32= -(x-π√2(π-8)/32)
y+x-π2√2/16 = 0
Нормаль
y-π√2(π+8)/32= x-π√2(π-8)/32
y+x+π2√2/2 = 0
16.8.
x0= 6a/5
y0= 12a/5
x'= 3a-3at2
y'= 6at
y'x= 2t/(1-t2)
y'x0= -4/3
Касательная
y-12a/5 = -4/3(x-6a/5)
y+4x/3-4a=0
Нормаль
y-12a/5 = 3/4(x-6a/5)
y-0.75x-1.5a=0
16.9.
x0= 1
y0= 2
x'= -(2tgt+1)/sin2t
y'= 1/cos2t-1/sin2t
y'x= cos2t _
cos2t(2tgt+1)
y'x0= 0
Касательная
y=2
Нормаль
x=1
16.10.
x0= 0
y0= 0
x'= t-t3
y'= t+t2
y'x= 1/(1-t)
y'x0= 1
Касательная
y= x
Нормаль
y= -x
16.11.
x0= 0
y0= aπ/2
x'= acost-atsint
y'= asint+atcost
y'x= sint+tcost
cost-tsint
y'x0= -2/π
Касательная
y-aπ/2+2x/π=0
Нормаль
y-aπ/2-πx/2=0
16.12.
x0= 1/2
y0= √3/2
x'= cost
y'= -sint
y'x= -tgt
y'x0= -√3/3
Касательная
y-√3/2= -√3/3(x-1/2)
y+x√3/3-2√3/3=0
Нормаль
y-√3/2= √3(x-1/2)
y=x√3
16.13.
x0= π/4
y0= π/4
x'= √(1+t2)-t2/√(1+t2) = 1/(1+t2)
√(1-t2/(1+t2))(1+t2)
y'= -t = -1/(1+t2)
√(1-1/(1+t2))√(1+t2)3
y'x= -1
y'x0= -1
Касательная
y-π/4=-(x-π/4)
y+x-π/2=0
Нормаль
y-π/4=x-π/4
y=x
16.14.
x0= 1
y0= 3
x'= (-1-2lnt)/t3
y'= (-1-2lnt)/t2
y'x= t
y'x0= 1
Касательная
y-3=x-1
y-x-2=0
Нормаль
y-3=-x+1
y+x-4=0
16.15.
x0= 3/4
y0= 11/8
x'= (-t-2)/t3
y'= (-3-2t)/t3
y'x= (3+2t)/(t+2)
y'x0= 7/4
Касательная
y-11/8=7/4(x-3/4)
y-7/4x-1/16=0
Нормаль
y-11/8= -4/7(x-3/4)
y+4/7x-53/56=0
16.16.
x0= a/8
y0= a3√3/8
x'= 3asin2tcost
y'= -3acos2tsint
y'x= -ctgt
y'x0= -√3
Касательная
y-a3√3/8= -√3(x-a/8)
y+x√3-a√3/2=0
Нормаль
y-a3√3/8= √3/3(x-a/8)
y-x√3/3-a√3/3=0
16.17.
x0= a√2(π+4)/8
y0= a√2(8-π)/8
x'= atcost
y'= atsint
y'x= tgt
y'x0= 1
Касательная
y-a√2(8-π)/8=x-a√2(π+4)/8
y-x+a√2(π-2)/4=0
Нормаль
y-a√2(8-π)/8= -x+a√2(π+4)/8
y+x+a3√2/2=0
16.18.
x0= 0
y0= 2
x'= -1/t2
y'= 1/t2
y'x= -1
y'x0= -1
Касательная
y+x-2= 0
Нормаль
y-x-2=0
16.19.
x0= -3
y0= -6
x'= -2t
y'= 1-3t2
y'x= (3t2-1)/2t
y'x0= 11/4
Касательная
y+6= 11/4(x+3)
y-11/4x +13/4=0
Нормаль
y+6= -4/11(x+3)
y+4/11x+78/11=0
16.20.
x0= ln2
y0= 1-π/4
x'= 2t/(1+t2)
y'=1-1/(1+t2)=t2/(1+t2)
y'x= t/2
y'x0= 1/2
Касательная
y-1+π/4= 1/2(x-ln2)
y-1/2x+1/2ln2+π/4=0
Нормаль
y-1+π/4= -2(x-ln2)
y+2x-2ln2+π/4=0
16.21.
x0= 0
y0= 0
x'= 1-sint-tcost
y'= cost-tsint
y'x= (cost-tsint)/(1-sint-tcost)
y'x0= 1
Касательная
y=x
Нормаль
y=-x
16.22.
x0= 3
y0= 2/3
x'= t4-2t2-2t
(t2-1)2
y'= (-t2-1)/(t2-1)2
y'x= (-t2-1)/(t4-2t2-2t)
y'x0= -5/4
Касательная
y-2/3= -5/4(x-3)
y+5/4x-53/12=0
Нормаль
y-2/3= 4/5(x-3)
y-4/5x+26/15=0
16.23.
x0= 3√2/2
y0= 2√2
x'= -3sint
y'= 4cost
y'x= -4/3*tgt
y'x0= -4/3
Касательная
y-2√2= -4/3(x-3√2/2)
y+4/3x-4√2=0
Нормаль
y-2√2= 3/4(x-3√2/2)
y-3/4x-7√2/8=0
16.24.
x0= 0
y0= 0
x'= 1-4t3
y'= 2t-3t2
y'x= (2t-3t2)/(1-4t3)
y'x0= 1/3
Касательная
y=1/3x
Нормаль
y= -3x
16.25.
x0= 2
y0= 3
x'= 3t2
y'= 2t+1
y'x= (2t+1)/(3t2)
y'x0= 1
Касательная
y-3=x-2
y-x-1=0
Нормаль
y-3= -x+2
y+x-5=0
16.26.
x0= 1
y0= -√3/2
x'= -2sint
y'= cost
y'x= -1/2*ctgt
y'x0= √3/6
Касательная
y+√3/2= √3/6(x-1)
y-x√3/6+2√3/3=0
Нормаль
y+√3/2= -2√3(x-1)
y+2x√3-2√3+√3/2=0
16.27.
x0= 2
y0= 2
x'= 2/cos2t
y'= 2sin2t+2cos2t
y'x= (sin2t+cos2t)/cos2t
y'x0= 2
Касательная
y-2= 2(x-2)
y-2x+2=0
Нормаль
y-2= -1/2(x-2)
y+x/2-3=0
16.28.
x0= -7
y0= 4
x'= 3t2
y'= 2t
y'x= 2/(3t)
y'x0= -1/3
Касательная
y-4= -1/3(x+7)
y+x/3-5/3=0
Нормаль
y-4= 3(x+7)
y-3x-25=0
16.29.
x0= 0
y0= 1
x'= cost
y'= atlna
y'x= atlna/cost
y'x0= lna
Касательная
y-1-xlna=0
Нормаль
y-1+x/lna=0
16.30.
x0= 1/2
y0= 1/2
x'= cost
y'= -2sin2t
y'x= -4sint
y'x0= -2
Касательная
y-1/2= -2(x-1/2)
y+2x-3/2=0
Нормаль
y-1/2= 1/2(x-1/2)
y-x/2-1/4=0
16.31.
x0= 2
y0= 2
x'= 2et
y'= -e-t
y'x= -1/(2e2t)
y'x0= -1/2
Касательная
y-2= -1/2(x-2)
y+x/2-3=0
Нормаль
y-2= 2(x-2)
y-2x+2=0