5. Рівність (a - b) / (c + d) = (a / c) - (b / d) еквівалентна таким (при c, d ¹ 0 i (c + d) ¹ 0):
(a - b) cd = (c + d) (ad - bc); acd - bcd = acd + ad2 - bc2 - bcd;
ad2 - bc2 = 0 і справджується тільки при виконанні цих умов.
6. Це корисне правило також не є загальним, і може бути застосовано тільки до числових виразів спеціального виду. Воно засноване на формулі
(a3 + b3) / (a3 + (a - b)3 = (a + b) / (a + (a - b).
7. Правило справджується для чисел виду
a + (a/a-1) = a*(a/a-1) i a2 / (a - 1) = (a2 / (a - 1)) : a , де а>0.
8. lg (a + b) = lg a + lg b, звідси b>1 i a =b / (b - 1).
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
1. 2 * 2 = 5.
А) Нехай a = b + c, тоді 5a = 5b + 5c і 4b + 4c = 4a . Додавши почленно дві останні рівності, дістанемо 4b + 4c + 5a = 5b + 5c + 4a; тепер, віднявши від обох частин по 9а, матимемо: 4b +4c - 4a = 5b + 5c - 5a, або 4 ( b + c - a ) = 5 ( b + c - a ), звідки випливає, що 4 = 5.
B) Нехай b - будь-яке число і a = b+1 (1). Помноживши рівність (1) почленно на ( a - b ), матимемо a2 - ab = ab + a - b2 - b, або a2 + + b2 = 2ab + a - b (2). Підставивши в рівність (2) значення a = 2 і
b = 2, маємо 4 + 4 = 8 + 2 - 2, тобто правильну рівність. Тому й вихідна рівність a = b + 1 буде правильною при a = b = 2, таким чином, 2 = 2 +1, або 4 = 5.
2. Будь-яке число дорівнює своїй половині.
Нехай a = b , або a2 = ab, тоді a2 - b2 = ab - b2, або (a + b)(a - b) = =b (a - b), звідки a + b = b. Оскільки, за умовою a = b, то 2b = b або b = 1/2 b.
3. Усі числа рівні між собою.
Нехай a та b - два довільних числа і a > b. Тоді завжди існує число d - середнє арифметичне чисел a i b, тобто (a + b) / 2 = d, або a + b = 2d, (1)
з рівності (1) дістанемо:
b = 2d - a i (2)
2d - b = a. (3)
Перемноживши рівності (2) і (3), дістанемо
2db - b2 = 2ad - a2. (4)
Віднімемо почленно рівність (4) від очевидної рівності d2 = d2, матимемо d2 - 2db + b2 = d2 - 2da + a2, або (d - b)2 = (d - a)2, або d - b = d - a.
Звідси a = b.
4. 0 = 1.
Розглянемо систему рівнянь: x3 - y3 = 3xy (x - y), (1)
x - y = 1. (2)
Рівність (1) можна переписати так: (x - y)3 = 0. В силу (2) получаем 13 = 0. Отож маємо: 1 = 0.
5. 4 > 12.
До обох частин очевидної нерівності 7 > 5 додамо по (- 8), тоді 7 - 8 > 5 - 8 , або -1 > -3. Тепер, помноживши почленно останню нерівність на (-4), дістанемо (-1)*(-4) > (-3)*(-4) , або 4 > 12.
6. 0 = 4.
Розглянемо нескінчений ряд 4 - 4 + 4 - 4 + ... і обчислимо в різний спосіб його суму S. По-перше, згрупувавши члени по два, дістанемо: (4 - 4) + (4 - 4) + ... = 0. Тепер згрупуємо члени ряда по два, починаючи з другого члена: 4 - (4 - 4) - (4 - 4) - ... = = 4. Оскільки S = 0 i S = 4, то 4 = 0.
7. Доведемо методом математичної індукції твердження: у всіх кішок очі одного і того самого кольору.
Для n =1 (одна кішка) твердження очевидно справджується.
Припустимо, що твердження правильне для n, тобто, що будь-які n кішок мають однаковий колір очей. Доведемо, що воно правильне і для n+1. Візьмемо довільну сукупність із n+1 кішок і пронумеруємо їх. За індуктивним припущенням кішки з номерами від 1 до n мають однаковий колір очей, кішки з номерами від 2 до (n + 1) (їх також n штук) теж мають один і той самий колір очей. В обидві множини входить, наприклад кішка номер 2. Тому у всіх (n = 1) кішок очі одного кольору. Такий результат викликає заперечення, але хіба можна встояти перед силою неспростованих висновків математичної логіки?
Відповіді, розв’язання.
1. A) b + c - a = 0. Отже виконана неприпустима дія - ділення на нуль.
B) Рівність справджується тільки при a = b + 1, а тому не можна брати значення a = b = 2.
2. 3b - 2a = 0, замасковане ділення на нуль.
3. Помилка при добуванні квадратного кореня з обох частин рівності.
4. Рівність 1 = 0 тільки доводить, що дана система рівнянь несумісна.
5. При множенні або діленні обох частин нерівності на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний.
6. Числовий ряд u1 + u2 + u3 + u4 + ... називають збіжним або таким, що має суму, якщо послідовність його частинних сум S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3, ... має скінченну границю lim Sn = S, n ® ¥. Число S при цьому називають сумою ряду і записують S = u1 + u2 + u3 + ... Якщо послідовність частинних сум ряду розбіжна, то ряд є розбіжним і немає суми. Легко перевірити, що послідосвність частинних сум ряду, що розглядається, не має скінченної границі (S1 = 4, S2 = 0, S3 = 4, S4 = 0), тому він є розбіжним, і не має суми. Застосування до розбіжного ряду поняття суми привело до парадоксальних висновків. В сімнадцятому столітті поняття збіжності рядів що не було встановлено. Тому багато математиків потрапляли у подібні ситуації. Наприклад, Лейбніц довго прагнув знайти практично не існуючу суму розбіжного ряду. Про розбіжні ряди Абель писав: "Розбіжні ряди - в цілому витвір сатани, і це ганьба що дехто дозволяє собі грунтувати на них яке б то не було доведення".
7. Доведено другу частину індукції, але при n = 1 висловлення не має смислу.
ГЕОМЕТРІЯ
1. Будь-яке коло має два центри.
Нехай прямі BD та AD перетинаються в точці D. Побудуємо CB^BD, CA^AD і коло, яке проходить через точки A, B, C й перетинає BD та AD відповідно в точках K i M. Тоді ÐKBC = ÐMAC = 900. Звідси випливає, що ці кути спираються на діаметри KC і MC одного і того самого кола. Середини відрізків KC і CM - точки O1 і O2 є двома різними центрами одного і того самого кола.
2. Відрізки паралельних прямих, вміщені між сторонами кута, рівні.
Нехай CED - довільний кут і CD || AB. Тоді AE : CE = BE : DE, звідки AE * DE = BE * CE. (1) Помножимо почленно рівність (1) на різницю AB - CD і виконаємо такі перетворення:
AE * DE * AB - AE * DE * CD = BE * CE * AB - BE * CE * CD, AE * DE * AB - BE * CE * AB = AE * DE * CD - BE * CE * CD, AB ( AE * DE - BE * CE ) = CD ( AE * DE - BE * CE ),
звідки AB = CD.
1. Частина відрізка прямої дорівнює всьому відрізку.
Перетнемо довільно взяту пряму в точках A і B прямими MN і PQ , перпендикулярними цій прямій. Проведемо пряму ED, яка перетинає пряму MN у точці E, AB в C і PQ в D. Трикутник CBE подібний трикутнику AEC, звідки BD : AE = CB : AC;
BD : AE = ( AB - AC ) : AC. (1)
Побудуємо пряму FH || AB, тоді з подібності трикутників CBD та FHD маємо: BD : HD = BC : FH або
BD : HD = ( AB - CA ) : FH. (2)
Із співвідношень (1) i (2) знаходимо BD:
BD = AE ( AB - AC ) / AC = HD ( AB - AC ) / FH, або
AF * FH * AB - AE * FH * AC = AC * HD * AB - AC2 * HD. (3) Додамо до обох частин рівності (3) різницю AE * FH * AC - - DH * AB * AC, зведемо подібні члени і винесемо за дужки спільний множник AB ( AE * FH - AC * HD ), звідки AB = AC.
1. Зовнішній кут трикутника дорів-нює внутрішньому, не суміжному з ним.
Нехай у чотирикутнику ABCD ÐA + ÐC = 1800. Оскільки будь-які три точки, які не лежать на одній прямій повністю визначають положення кола, то можна стверджувати, що через точки A, B і C проходить єдине коло. Точку перетину його із стороною DC позначимо через E. Побудувавши відрізок BE, маємо чотири- кутник ABED, вписаний в коло, причому ÐA + ÐE = ÐB + ÐD = = 1800 . Оскільки ÐA + ÐC = 1800 і ÐA + ÐBED = 1800, то ÐBED = ÐC.
1. Опукла обвідна ламана коротша за опуклу ламану, яку вона охоплює.
Відрізки AB і BC обвідной візьмемо довільно, а відрізки AD і DC - пропорційні до відрізків і обвідної: AD = k AB, DC = k BC , де k - будь-який додатній дріб. З останніх рівностей маємо:
-AD = k (-AB) і -DC = k (-BC),
-AD + (-DC) = k (-AB + (-BC)),
(-AD + (-DC)) : (-AB + (-BC)) = k , але k = AD : AB, тому ((-AD)+ (-DC)) : (-AB) + (-BC))=AD : AB. (1)
В останній пропорцій попередній член у правій частині менший за наступний ( AD < AB ), а тому й попередній її член в лівій частині теж має бути меншим за свій наступний:
((-AD) + (-DC)) < ((-AB) + (-BC)) (2) звідки AB + BC < AD + DC.
1. Квадрат будь-якої сторони у будь-якому трикутнику дорівнює сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника.
Візьмемо довільний трикутник ABC і побудуємо ще прямокутний трикутник BCD. Тоді AC2 = AD2 + CD2 (1) і BC2 = CD2 + BD2, CD2 = BC2 - BD2 (2). Підставимо значення з рівності (2) в рівність (1): AC2 = AD2 + BC2 + BD2 (3), або AC2 - BC2 = AD2 - BD2 (4). Але AD = AD + BD, тому AD2 - BD2 = AB2. Підставивши в рівність (4) замість різниці AD2 - BD2 значення AB2, яке їй дорівнює, матимемо, AC2 - BC2 = AB2 або
AC2 = AB2 + BC2.
Аналогічно Чернишевський "доводить", що BC2 = AC2 + AB2, і закінчує лист словами: "... десь тут має приховуватися обман; відкривши його, ти зробиш велику послугу люблячому тебе брату Миколі Чернишевському".